Deje $\mathrm{arg}:\mathbb{C}\setminus \{0\} \to [0,2\pi) $ ser la función de con $\mathrm{arg}(re^{i\alpha})= \alpha$$\alpha \in [0,2\pi)$. ¿Cómo podemos demostrar que $\mathrm{arg}: \mathbb{C}\setminus A \to \mathbb{R}$ es continua cuando $A= \{z\in \mathbb{C} | x \geq 0, y=0\}$?
Respuestas
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He aquí otra perspectiva el uso de la definición de continuidad. En primer lugar, debemos definir algunas variables.
Deje $0 < \epsilon < \pi/2$ ser dado. Tomar cualquier número complejo a $z = r e^{i \theta} \notin A$ y tome $\delta > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $B_\delta(z) \cap A = \emptyset$ (es decir, para que el $\delta$-bola centrada en $z$ no intersecta con el rayo $A$). Definir $\phi$ a la mitad del ángulo subtendido por $B_\delta(z)$, en el origen.
Ahora debemos tener una imagen como esta.
Para cualquier $w \in B_\delta(z)$ hemos
$$ 0 \leq \theta \phi \leq \operatorname{Arg}(w) \leq \theta + \phi \leq 2\pi. $$
Por la ley de los senos vemos que $\phi = \arcsin(\delta/r)$. De ello se sigue que si $\delta < r \sin \epsilon$
$$ |\operatorname{Arg}(w) - \theta| < \epsilon. $$
Llegamos a la conclusión de que $\operatorname{Arg}$ es continua en a $\mathbb C \setminus A$.
A ver que no es continua en a $A$, ten en cuenta que en cualquier conjunto abierto de intersección $A$ uno puede encontrar los números complejos arbitrariamente cerca el uno del otro, de modo que un número tiene argumento $0$ y el otro tiene argumento arbitrariamente cerca de $2 \pi$.
Anthony Shaw
Puntos
858
Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{\sin(\theta)}{1-\cos(\theta)} &=\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}\\[6pt] &=\cot(\theta/2)\\[12pt] &=\tan((\pi-\theta)/2)\tag{1} \end{align} $$ El uso de $(1)$, es evidente que $$ \arg(x+iy)=\pi-2\arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}-x}\right)\etiqueta{2} $$ que es continua para todos los $\mathbb{C}$ lejos de la real positiva del eje (el eje real positivo es precisamente donde $\sqrt{x^2+y^2}-x=0$).
