Mostrar que $2\leq \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<2.8$

Question

Me preguntaron por un junior de la mina para explicar cómo se cumple lo siguiente:

Para todos los $x\geq 1$, \begin{eqnarray} 2\leq \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<2.8. \end{eqnarray}

Sé que $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\to \text{e}\approx2.7$$x\to \infty$. Sin embargo, ella no tiene el requisito de fondo para comprender sus límites.

Puede que alguien me apunte a un mayor nivel preliminar en la que este problema puede ser tratado?

Answer 1

Pensé que podría ser útil para presentar un camino en el que $x$ es cualquier entero positivo. A fin de proceder.

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En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo la Desigualdad de Bernoulli que $\left(1+\frac1n \right)^n$ es monótonamente creciente para valores enteros de a $n\ge 1$.

Desde el teorema del binomio, tenemos para $n\ge 1$

$$\begin{align} \left(1+\frac1n \right)^n&=1+1+\frac1{2!} \left(1-\frac1n\right)+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2{n}\right)+\cdots \frac1{n!}\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\\\\ &\le \sum_{k=0}^n\frac1{k!}\\\\ &\le \sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\\\\ &= 1+1+\frac12+\frac16+\sum_{k=4}^\infty \frac{1}{k!}\\\\ &\le 2\frac23+\sum_{k=4}^\infty \frac{1}{2^k}\\\\ &=2\frac23+\frac18\\\\ &=2\frac{19}{24}\\\\ &<2.8 \end{align}$$

A partir de la monotonía, el límite inferior es evidentemente $2$ (es decir, el término de interés es mayor que su valor en $n=1$). Poner juntos revela

$$2\le \left(1+\frac1n\right)^n<2.8$$

para valores enteros de a $n\ge 1$.

Answer 2

Deje $f(x)=(1+\frac1x)^x$$x\geq 1$.

$g(x)=\ln(f(x))=x\ln(\frac{1+x}{x})$

$g'(x)=\ln(1+x)-\ln(x)-\frac{1}{1+x}$

$=\frac{1}{c_x}-\frac{1}{1+x}\;\;$ por MVT.

$>0\;\;$ desde $\;\;x<c_x<1+x$.

así

$g\;$ $\;f$ están aumentando y

$\forall x\geq 1$

$$f(1)=2<f(x)<\lim_{x\to+\infty}f(x)=e<2.8$$

Answer 3

Esta es la respuesta parcial, ya que se necesita para ser capaces de demostrar que la función dada es creciente/decreciente, por lo que usted podría necesitar el uso de derivaciones (pero para números enteros no necesariamente).

Así, suponiendo que son capaces de demostrar que $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ es el aumento de $x \geq 1$, los límites inferiores de la siguiente manera, ya que usted tiene

$$2 = \left(1+\frac{1}{1}\right)^1 \leq \left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$$

Por otro lado, si usted es capaz de mostrar ese $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}}$ es la disminución de $x\geq 1$, el límite superior de la siguiente manera para $x \geq 2$ desde

$$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \leq \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}} \leq \left(1+\frac{1}{2}\right)^{2+\frac{1}{2}} \approx 2.775$$

Answer 4

Deje $h(x)=\ln(1+x)-x\;\;$$x\geq0$.

$$h'(x)=\frac{1}{1+x}-1$$

$$=\frac{ -x}{ 1+x }\leq 0$$

así

$$(\forall x>0)\; \;\; h(x)\leq h(0)$$

$\implies$

$$(\forall x>0)\;\;\ln(1+x)\leq x$$

o

$$(\forall x>0)\;\; \ln(1+\frac 1x)\leq \frac 1x$$

$\implies$

$$(\forall x>0)\;\; x\ln(1+\frac 1x)\leq \ln(e)$$

Y, finalmente,

$$(\forall x\geq 1)\;\; 2\leq (1+\frac 1x)^x\leq e$$