El cuestionamiento de la necesidad de la Doble Espacio

Question

Estoy tratando con el doble de espacio para la primera vez.

Solo quería preguntar es su aplicación práctica alguna de Doble espacio, o es que sólo algunos al azar matemático cosa? Si hay, por favor, dar un par de.

Answer 1

Distribuciones, o "funciones generales", tales como la delta de Dirac son la mayoría muy bien descrito por estudiar el espacio dual de un espacio de "agradable" (liso o algo por el estilo) funciones. Heurística de los cálculos con las distribuciones son comunes en la física, pero si usted necesita un conocimiento riguroso de lo que está pasando y qué operaciones están permitidas, se termina el estudio de la doble espacios.

Answer 2

Campos vectoriales y formas diferenciales son dual en este sentido, pero se comportan de manera muy diferente. Por lo tanto, uno puede retroceder formas diferenciales por la suave mapas pero no es análoga a la operación para campos vectoriales.

De un número finito de dimensiones de espacio vectorial es naturalmente isomorfo a su doble, pero el isomorfismo no es canónica. En otras palabras, no hay manera natural de la identificación de ellos.

Para tener una idea de lo "natural" significa, en este contexto, se tiene que empezar a pensar acerca de los objetos globales tales como el vector paquetes. Por ejemplo, la banda de Möbius puede ser considerado como un vector paquete sobre el círculo, con la fibra de una línea. Si se podría construir un isomorfismo natural entre una fibra y la línea de $\mathbb R$, esto podría llevar a una trivialización del vector paquete y daría a entender que la banda de Möbius es en realidad un cilindro, lo que no es.

Answer 3

Cuando se trata con finito-dimensional espacios vectoriales, hace no mucho sentido para el estudio de la doble espacios. Cada finito-dimensional espacio vectorial sobre el campo de los números reales o complejos, puede ser equipado con un producto escalar. Entonces no hay necesidad de introducir un doble espacio finito-dimensional de álgebra lineal en mi humilde opinión.

El panorama cambia completamente con infinitas dimensiones de los espacios. Estos espacios permiten (y llamar!) por una mucho más rica de la teoría.

Aquí es un ejemplo, donde un funcional (es decir, un elemento de la doble espacio) entra en la habitación: Deje $f:X \to \mathbb R$ ser un direccionalmente función derivable. Entonces la derivada direccional de $f$ $x$ es una correspondencia que asigna cada dirección $\delta x$ a un número real $f'(x;\delta x)$. Si esta asignación $\delta x\mapsto f'(x;\delta x)$ es lineal con respecto a la dirección, es un elemento de la doble espacio, $f'(x) \in X^*$.

Answer 4

Localmente convexo espacios tienen una muy rica la teoría de la dualidad de los espacios, y mucho de análisis funcional (como su nombre indica, está dedicado al estudio de dichos espacios. Considere cuán importante es el concepto de base es en lo finito dimensional configuración y, a continuación, tenga en cuenta que el continuo lineal funcionales son una generalización natural a espacios de infinitas dimensiones.

Por supuesto, el primer ejemplo sería el de Hilbert espacios, donde el producto interior permite identificar el doble espacio con el espacio en sí mismo en una manera muy directa. En un sentido, esto oscurece el papel de la doble espacio, pero usted debe tomar nota de lo importante que es el producto interior (y por lo tanto los funcionales lineales) son para la teoría.

Answer 5

Dual espacios entrar, naturalmente, si se considera la topología débil en el espacio original. A veces, una ecuación diferencial tiene una solución débil pero no es fuerte (es decir, en el original=fuerte, la topología). Ejemplos bien conocidos de doble espacios se $L^p$ espacios. El doble de ${L^p}(R,dx)$, $1≤p<∞$ es ${L^q}(R,dx)$ donde $p^{-1}+q^{-1}=1$. Usted puede encontrar muchos más detalles en los volúmenes de Reed y Simon.