Si $E|X|<+\infty$ $\int_{\left(|X|>n\right)}X \;dP\to 0$

Question

Sea X una variable aleatoria definida en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathbf{F},P )$. Si $E|X|<+\infty$, ¿Cómo puedo demostrar que $$\lim_{n\to \infty}\int_{\left(|X|>n\right)} X \ dP=0 \,?$$

Answer 1

Deje $X_n=|X|\cdot[|X|\geqslant n]$. Desde $\lim\limits_{n\to\infty} X_n=0$ casi seguramente, te preguntas por qué $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm E(X_n)=\mathrm E\left(\lim\limits_{n\to\infty}X_n\right)$.

Sugerencia: el Uso de Lebesgue del teorema de convergencia dominada con la condición de dominación $|X_n|\leqslant|X|$.

Answer 2

Poner $A_k:=\left\{\omega\in\Omega,k\leq |X(\omega)|<k+1\right\}$. Tenemos para todos los $k\geq 0$: $$kP(A_k)\leq \int_{k\leq X<k+1}|X|dP\leq (k+1)P(A_k)$$ por lo tanto $$\sum_{k=0}^{+\infty}kP(A_k)\leq E|X|\leq\sum_{k=0}^{+\infty}(k+1)P(A_k).$$ Desde $E|X|$ es finito, la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}kP(A_k)$ es convergente y desde $(k+1)P(A_k)\sim kP(A_k)$, la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}(k+1)P(A_k)$ es también convergente. Ahora, tenemos $$\int_{|X|\geq n}|X|dP=\sum_{k=n}^{+\infty}\int_{A_k}|X|dP\leq \sum_{k=n}^{+\infty}(k+1)P(A_k),$$ cual es el resto de una serie convergente.