He encontrado esta pregunta en una preparación para el examen GRE sitio:
Si te unes a todos los vértices de un heptagon, ¿cuántos cuadriláteros se obtiene?
Hay un montón de respuestas de opción múltiple, pero para mí, ninguno de ellos parece correcto y ya que no es un oficial GRE sitio me inclino a pensar que tal vez quien hizo la pregunta podría haber cometido un error.
En primer lugar, permítanme explicar cómo entiendo la pregunta:
Unir todos los vértices, para mí, significa para dibujar el grafo completo de la $7$-gon. Un cuadrilátero es un $4$-gon. Así que tengo que encontrar el número de $4$-ágonos dentro de un grafo completo $K_7$.
Traté de contar con ellas como sigue, por favor, ¿podría alguien decirme si esta es correcto o explicar por qué no?
Aprecio mucho su ayuda ya que esta es la primera pregunta que he probado en orden a la preparación para el GRE y me hace muy nervioso que me parece que no puede entender aún la solución.
Para el recuento $4$-ágonos necesito determinar primero el número total de vértices, ese es el siete exterior vértices, además de todos los nuevos obtenemos de la intersección de las líneas en el interior.
Para hacer esto primero determinar el número total de líneas y, a continuación, determinar con cuántas líneas de cada una de las líneas de cruza. Así que vamos a ello:
Comenzando con una muestra aleatoria de vértice dibujamos $7-3=4$ líneas de salida (menos de tres por el vértice actual y los dos adyacentes).
Mover a uno de los dos vértices adyacentes contamos $7-3=4$ líneas de salida.
Ahora nos trasladamos a la otra adyacente vértice de la partida (=primero) vértice. Ya hemos dibujado un saliente de la línea (que viene desde el segundo vértice hemos considerado). Así, el número de líneas de salida es $7-3-1=3$.
Movimiento de este tercer vértice a la cuarta (adyacente) vértice se nota que ya hemos dibujado dos líneas entrantes en esto: uno de los primeros y uno de la segunda vértice hemos considerado. Así que el recuento $7-3-2 = 2$ líneas de salida.
Nos movemos en el quinto vértice. Por un razonamiento similar como antes recuento $7-3-3=1$ salientes de la línea.
La sexta vértice tendrá $7-3-4=0$ líneas de salida.
En total se dibujó $1+2+3+4+4=14$ líneas.
(Nota: por ahora me doy cuenta de que yo podría haber usado que este es el número de aristas de un grafo completo menos el 6 fuera de los bordes. Así que, en algún lugar he cometido un error, ya que debo tener $15$ líneas dibujadas en el interior.).
Lo siguiente que necesitamos es contar cuántos puntos de intersección de cada línea. Así que teniendo en cuenta una línea en particular, tomamos nota de que se cruza con todas las líneas que no emanan desde el mismo vértice. Por vértice hay $4$ emanan de las líneas de ahí una línea en particular, se cruza con $15-4=11$ líneas.
De ahí que el número de puntos de intersección es $11\cdot 15=165$.Además de los que tuvimos $7$ vértices, para empezar por lo que en total tenemos $165 + 7 = 172$ vértices.
El número de $4$-ágonos para hacer de $172$ vértices es $$ {172 \choose 4}$$
lo que me parece un poco grande.
Yo también creo que el $165$ puntos de intersección en un heptagon parece demasiado grande.
