¿La continuidad de $f$ implican $f^{-1}(\bar A)\subset\overline{f^{-1}(A)}$?

Question

Yo estoy luchando para probar o refutar que la continuidad de $f$ implica $f^{-1}(\bar A)\subset\overline{f^{-1}(A)}$.

$f:X\to Y$ es un mapa entre espacios métricos $(X,d),(Y,d')$ mientras $\bar M$ denota el cierre de $M$.

La definición de continuidad se supone que voy a usar para este ejercicio es:

$f$ es continua$\ \Leftrightarrow\ f^{-1}(M)$ es abierto si $M\subset Y$ está abierto a$\ \Leftrightarrow\ f^{-1}(M)$ es cerrado si $M\subset Y$ es cerrado.

Answer 1

Deje $Y = \mathbb{R}$ con la costumbre de métricas e $X = (0,1) \cup \{2\}$ con métrica heredado de la norma métrica en $\mathbb{R}$. deje $f(x) = x$ $(0,1)$ $f(2) = 1$ y tome $A = (0,1)$. entonces es fácil ver que para este caso particular su declaración no tiene

Answer 2

Desde $A\subseteq\bar{A}$ usted saber que $f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(\bar{A})$, por lo que $$ \overline{f^{-1}(A)}\subseteq f^{-1}(\bar{A}) $$ debido a $f^{-1}(\bar{A})$ es cerrado por la continuidad de $f$.

Ahora, si la afirmación es verdadera, tendría que concluir que $\overline{f^{-1}(A)}= f^{-1}(\bar{A})$ por cada $A\subseteq Y$. Puede usted?

Answer 3

Deje $X=\mathbb{R}$ con la métrica discreta. Luego la función es continua. Deje $Y=\mathbb{R}$ con el estándar métrico. Definir $f:X\rightarrow Y$ $f(1)=1$ $f(x)=\sqrt{2}$ todos los $x\neq 1$. Por último set $A=\mathbb{Q}$. A continuación,$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$$f^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$. Pero, $f^{-1}(\mathbb{Q})=\{1\}$.