Hacer todo conjugado priores tiene que venir de la exponencial de la familia? Si no, ¿qué otras familias se han conocido/a producir conjugado priores?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se explica por ejemplo en la Sección 3.3.3 del libro "El Bayesiano elección" por Christian Robert, en efecto, hay una estrecha conexión entre exponencial de las familias y conjugar los priores, pero hay que conjugar los priores disponibles para que algunos no exponencial de las familias. Él llama a estos "cuasi-exponencial", sin embargo, debido a que son familias para que las estadísticas suficientes de dimensión finita, que no aumenta con el tamaño de la muestra no existen.
Aquí es un ejemplo para la distribución uniforme, de cuyo apoyo depende del parámetro de la distribución y por lo tanto no puede ser una exponencial de la familia (como es conocida):
Aquí, la distribución de Pareto es un conjugado previo para el parámetro $b$ de la distribución uniforme en $[0,b]$.
La densidad de la distribución de Pareto con los parámetros de $c>0$ e $% \alpha >0$ es \begin{equation*} f(x)=\alpha c^{\alpha }x^{-\alpha -1} \end{ecuación*} para $x\geq c$ $f(x)=0$ más.
La previa del parámetro $b$ de una distribución uniforme en $[0,b]$ es una distribución de Pareto con $c_{0}$$\alpha _{0}$, \begin{eqnarray*} \pi (b) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if } b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array} \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*} La probabilidad de que los datos de $y_{1},\ldots ,y_{n}$, determinado $b$, es \begin{equation*} f\left( y |b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{b }=b ^{-n} & \quad \text{if }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{ecuación*} El producto de la probabilidad y la anterior es la no-normalizado posterior \begin{eqnarray*} \pi \left( b |y\right) &\propto &\pi (b )f\left( y |b\right) \\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1}b ^{-n} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-n-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }% 0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{1}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{1} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*} con \begin{eqnarray*} \alpha _{1} &=&\alpha _{0}+n \\ c_{1} &=&\max\bigl(\max_{i}y_{i},c_0\bigr). \end{eqnarray*} Por lo tanto, la parte posterior es de Pareto distribuido.
