Propiedades de geodesics en las superficies regladas

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Muestran que una unidad de velocidad de la curva de $\gamma$ con ningún lugar de fuga de curvatura es una geodésica en la superficie reglada $\sigma(u,v)=\gamma(u)+v\delta(u)$ donde $\gamma$ es una función suave de $u$, si y sólo si $\delta$ es perpendicular a la principal normal de $\gamma$ $\gamma(u)$ para todos los valores de $u$.

Editar (bastante grande): Mi profesor escribió la pregunta equivocada. Me fijo en aquí. Lamentablemente, incluso con la derecha, yo no puedo ir en cualquier dirección.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias!

Answer 1

usted está inscrito en UofCalgary PMAT 423? Tengo la misma pregunta que tú.

(=>) esto es lo que yo estaba pensando así. Sólo recuerde que se supone que nosotros debemos mostrar que γ es perpendicular a la principal normal de γ, no γ". Uso γ" = kn (no N, que es la unidad estándar normal de la superficie).

(<=) aquí tenemos a usar la idea de que el director de la normal de γ es perpendicular a γ en cada punto γ. Desde kn = t' = γ", donde k es la curvatura de la γ (no en la superficie), esto implica γ" es perpendicular a γ en cada punto, que implica entonces γ" es perpendicular a γ'. Una propiedad de la cruz del producto es que si a x B = C, entonces C es perpendicular a a y a B, por lo tanto (N x γ') es perpendicular a γ'. Puesto que Y' es perpendicular a γ" y γ" es paralela a la N (porque γ se encuentra en la superficie), entonces (N x γ') debe ser perpendicular a γ". De esto podemos obtener γ" • (N x γ') = 0 = kg. Desde el geodésico de curvatura es igual a 0, entonces la superficie debe ser geodésica.

Creo que este es el camino correcto para hacer esta pregunta pero ambas direcciones parece demasiado simple. Si tienes alguna idea, me encantaría aquí.

Answer 2

Una unidad de velocidad de la curva de $\gamma(u)$ (es decir, parametrizadas por arco de longitud) es una geodésica en una superficie de $S$ fib $\gamma''(u)$ es perpendicular a $S$.

La normal a $\sigma(u,v)=\gamma(u)+v\delta(u)$ es paralelo a $$ \frac{\partial\sigma}{\partial u}\times\frac{\partial\sigma}{\partial v} =(\gamma'+v\delta')\times\delta\etiqueta{1} $$ En $\gamma$, $v=0$. Por lo tanto, $\gamma$ es una geodésica iff $\gamma''\times(\gamma'\times\delta)=0$. Utilizando la fórmula de Lagrange y el hecho de que $\gamma''\cdot\gamma'=0$, obtenemos $$ \gamma"\cdot\delta\gamma'-\gamma"\cdot\gamma'\delta=0 \Leftrightarrow\gamma"\cdot\delta=0\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $\gamma$ es una geodésica iff $\gamma''\cdot\delta=0$ donde $\gamma''$ es la paralela a la principal normal desde $\gamma$ es la unidad de velocidad.