Dejemos que $x,y,z$ sean enteros positivos tales que $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ . Dejemos que $h=\gcd(x,y,z)$ Demostrar que $hxyz,h(y-x)$ son cuadrados perfectos

Question

Dejemos que $x,y,z$ sean enteros positivos tales que $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ . Dejemos que $h=\gcd(x,y,z)$ Demostrar que $hxyz,h(y-x)$ son ambos cuadrados perfectos.

Mi intento: Deja que $x=ha,y=xb,z=xc$ entonces $a,b,c$ son enteros positivos tales que $\gcd(a,b,c)=1$ .
Ahora, supongamos que $\gcd(a,b)=g$ Así que.., $a=ga',b=gb'$ , donde $\gcd(a',b')=\gcd(a',a'-b')=\gcd(b',a'-b')=1$ . Por lo tanto, tenemos $c(b'-a')=ga'b'$ Así que $g\mid c$ y $g=1$ .

Ahora, no sé qué hacer. Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Consideremos

$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{z}, $$

y

$$ h = \textrm{gcd}(x,y,z). $$

Digamos que

$$ \begin{eqnarray} x &=& h x',\\ y &=& h y',\\ z &=& h z',\\ \end{eqnarray} $$

entonces obtenemos

$$ \frac{1}{x'} - \frac{1}{y'} = \frac{1}{z'}, $$

donde

$$ \textrm{gcd}(x',y',z') = 1. $$

---

Podemos escribir

$$ \Big(y'-x'\Big)z' = x'y'. $$

Miremos a impar e incluso:

$$ \begin{array}{ccccl} x' & y' & z'\\ \textrm{even} & \textrm{even} & \textrm{even} & \Rightarrow & \textrm{gcd}(x',y',z') > 1.\\ \textrm{odd} & \textrm{odd} & \textrm{odd} & \Rightarrow& \textrm{contradiction as $ xy $ is odd but $ (x-y)z $ is even}.\\ \textrm{odd} & \textrm{even} & \textrm{even}\\ \textrm{even} & \textrm{odd} & \textrm{even} \end{array} $$

Así que escribimos

$$ \begin{eqnarray} y' &=& x' + 2p + 1,\\ z' &=& 2q, \end{eqnarray} $$

cuando

$$ x'^2 + \Big(2p+1\Big)x' = \Big(2p+1\Big)2q, $$

así que

$$ x' = - \frac{2p+1}{2} + \frac{2p+1}{2} \sqrt{1 + \frac{8q}{2p+1}}, $$

lo que significa que

$$ q = \frac{1}{2} r \Big( r + 1 \Big) \Big( 2p + 1 \Big), $$

para que

$$ \begin{eqnarray} x' &=& r \Big( 2p + 1 \Big),\\ y' &=& \Big( r + 1 \Big) \Big( 2p + 1 \Big),\\ z' &=& r \Big( r + 1 \Big) \Big( 2p + 1 \Big).\\ \end{eqnarray} $$

Sin embargo, $\textrm{gcd}(x',y',z') = 1$ Por lo tanto $2p+1=1$ De ahí que

$$ \begin{eqnarray} x &=& h r,\\ y &=& h \Big( r + 1),\\ z &=& h r \Big( r + 1 \Big).\\ \end{eqnarray} $$

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Está claro que

$$ \begin{eqnarray} hxyz &=& \left[ h^2 r \Big( r + 1 \Big) \right]^2,\\ h(y-x) &=& \Big[ h r \Big]^2,\\ \end{eqnarray} $$

por lo tanto, ambos $hxyz$ y $h(y-x)$ son cuadrados perfectos.

Answer 2

Como en el caso anterior, dejemos que $x=ha$ , $y=hb$ y $z=hc$ donde $h=gcd(x,y,z)$

Entonces $(y-x)z=xy\implies h^2(b-a)c=h^2(ab)\implies(b-a)c=ab$ con $gcd(a,b,c)=1$ .

Dejemos que $p\vert b-a$ con $p$ primo. Entonces $p\vert ab\implies p\vert a$ o $p\vert b$ y

$\textbf{1)}$ si $p\vert a$ entonces $p\vert a$ y $p\vert b-a\implies p\vert b\implies p^2\vert ab\implies p^2\vert (b-a)c$ con $(p^2, c)=1\implies p^2\vert b-a$ .

$\textbf{2)}$ Del mismo modo, si $p\vert b$ entonces $p^2\vert b-a$ .

[Obsérvese que si $b-a$ no tiene ningún divisor primo, entonces $b-a=1$ .]

Así, $b-a$ es un cuadrado perfecto, por lo que se deduce que

$hxyz=h^4abc=h^4(b-a)c^2$ y $h(y-x)=h^2(b-a)$ son cuadrados perfectos.