Hay infinidad de $A\in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ satisfacción $A^3 = A$?

Question

Deje $A$ $2 × 2$- matriz con entradas complejas. El número de $2 × 2$-matrices $A$ con entradas complejas que satisface la ecuación de $A^3 = A$ es infinito.

Es la declaración de arriba verdad? Sé que $0$, y son dos soluciones. Pero hay más soluciones?

Answer 1

Más generalmente, $A^3=A$ si y sólo si $A(A^2-I)=0$. Por lo tanto el polinomio mínimo de $A$, $m_A(x)$ divide $x(x-1)(x+1)$, por lo que el polinomio característico es $p_A(x)=x^i(x-1)^j(x+1)^k$ tal que $i+j+k=2$. Tomar cualquier matriz con todos sus autovalores $0,\pm1$ (algunas de ellas), y usted tendrá una matriz de satisfacer su ecuación. Hay algunos 'simple' matrices de satisfacer esta ecuación: $$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$ Y esos son todos los 'diferentes' matrices de satisfacer su ecuación. Cualquier otra solución a la ecuación es similar a uno de esos, es decir, tomar cualquier matriz invertible $P$, tomar cualquier matriz $E$ a partir de la lista que acabo de mencionar y $A=PEP^{-1}$ es una solución.
En corto hay infinitamente muchas soluciones, cada una es de la forma $A=PEP^{-1}$ para una invertible $P$ $E$ a partir de los seis anteriores.

Answer 2

Las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ r & 0 \end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}$ satisfacer $A^2=A$, lo $A^3=A$.

Si usted encuentra una matriz de $A$ (aquí se $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$) que satisface $p(A)=0$ para algunos polinomio $p$ (aquí se $x^3-x$), a continuación, cualquier matriz B similar a $A$ satisfacer $p(B)=0$.

Answer 3

De hecho, es infinito. Por ejemplo, todas las matrices $$ \begin{bmatrix}t&\sqrt{t-t^2}\\ \sqrt{t-t^2}&1-t\end{bmatrix},\ \ t\in[0,1] $$ satisfacer su igualdad (que en realidad satisfacer $A^2=A$, lo que por supuesto implica la $A^3=A$).