Utilizar la ley de los cosenos da como resultado una respuesta "inválida", ¿por qué?

Question

Tengo el siguiente triángulo isósceles:

Quiero encontrar el $\alpha$ ángulo, y sé que es obtuso.

Mi primer instinto fue conseguir la longitud de $BM$ utilizando la Ley de los Cosenos, lo que da lugar a dos respuestas: una negativa y otra positiva; Inmediatamente desacredité la negativa porque en geometría se supone que todas las longitudes son positivas, o eso he supuesto hasta ahora...

$$BM^2 = x^2 + 0.25x^2 - x^2\cos(50)$$

$$BM \approx \pm 0.78x$$

A partir de aquí, pensé que podría extrapolar fácilmente $\alpha$ introduciéndola en la fórmula de la Ley de los Senos, pero para mi sorpresa no obtuve el resultado correcto, $\alpha \approx 100.53^\circ$ pero $\alpha - 180 \approx 79.47^\circ$ .

$$\frac{BM}{\sin(50)} = \frac{x}{\sin(\alpha)}$$

$$\downarrow$$

$$\frac{0.78x}{\sin(50)} = \frac{x}{\sin(\alpha)}$$

$$\downarrow$$

$$\sin(\alpha) = \frac{x\cdot \sin(50)}{0.78x} \rightarrow \alpha \approx 79.16^\circ$$

Supongo que es porque he desacreditado lo que es una respuesta trigonométrica válida, pero ¿por qué? Hasta ahora tenía la impresión de que todas las longitudes de las formas geométricas debe ser positivo.

Soy consciente de que existen otros métodos para solucionar esto, pero sólo me interesa saber por qué el mío en concreto no se comporta como yo quiero.

Gracias de antemano.

Answer 1

Lo has hecho:

$\sin \alpha = \frac {\sin 50^\circ}{\sqrt {1.25 - \cos 50^\circ}}$

Existen 2 valores para $\alpha$ entre $0$ y $180^\circ$ tal que $\sin \alpha = \frac {\sin 50^\circ}{\sqrt {1.25 - \cos 50^\circ}}$

uno es aproximadamente $79.4^\circ$ el otro es $180-79.4\approx 100.6$

En $\arcsin$ de tu calculadora devolverá una respuesta en el intervalo $[-90,90]$ y puede que tenga que partir de ahí para encontrar el ángulo que realmente busca.