$1 + \frac{1}{3}\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\frac{1}{4^2} + \frac{1}{7}\frac{1}{4^3} + ..........$

Question

$1 + \frac{1}{3}\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\frac{1}{4^2} + \frac{1}{7}\frac{1}{4^3} + ......$ Alguien me puede ayudar en cómo solucionar esto.

Yo : yo estaba pensando en la expansión de $tan^{-1}x$. Pero en esa serie positivos y negativos vendrá como alternativa.

Answer 1

$$\sum_{r=0}^\infty\dfrac1{(2r+1)}\left(\dfrac12\right)^{2r}=2\sum_{r=0}^\infty\dfrac{x^{2r+1}}{(2r+1)}$$ where $2x=1$

Ahora $-\ln(1-x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}n$ $-1\le x<1$

$\ln(1+x)-\ln(1-x)=?$

Alternativamente, $$\sum_{r=0}^\infty\dfrac{x^{2r+1}}{(2r+1)}=\int\sum_{r=0}^\infty(x^2)^rdx$$

Answer 2

Un enfoque diferente sería el uso de teorema del binomio . Considere la posibilidad de la expansión de la serie de $\ln (\frac {1}{1-x}),\ln (\frac {1}{1+x})$ utilizando la expresión binomial negativo del índice que ha $\ln (\frac {1}{1-x})-\ln (\frac {1}{1+x})=2 (x+\frac {x^3}{3}+\frac {x^5}{5}+.. ) $ saque $x $ común de $RHS $ y poner $x=\frac {1}{2} $ así tenemos a $\frac {1}{2x}\ln(\frac {1}{1-x})-\ln(\frac {1}{1+x})=S $ $S=\ln (3) $