¿Cómo calcular el producto de $\tan 1^{\circ} ... \tan 45^{\circ}?$

Question

He visto a una pregunta en yahoo pidiendo para encontrar el valor de

$\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \dots \cdot \tan 45^{\circ}$ (en grados)

He visto varios resultados con respecto a los productos de la trigonométricas valores tales como

$(1 + \tan1^{\circ}) (1 + \tan2^{\circ}) ... (1 + \tan45^{\circ}) = 2^{23} \\$ $\prod_{k=1}^{89} \sin(k \pi/180) = -\prod_{k=-89}^{89} (\sin(k \pi/180)-1) = 360/2^{180}$

He tratado de hacer varias cosas con las raíces de la unidad, pero nada que no se ha hecho antes. ¿Alguien tiene alguna idea?

Gracias

Edit: Incluyendo otras afirmaciones que considero que es equivalente a encontrar esta respuesta

$\cos 1^{\circ} ... \cos 45^{\circ}\\ \pecado 1^{\circ} ... \sin45^{\circ} \\ (1 + \bronceado 46^{\circ})...(1+\bronceado 89^{\circ}) \\ (\pecado 1^{\circ} + \cos 1^{\circ})...(\pecado 45^{\circ} + \cos45^{\circ}) \\ (\pecado 2^{\circ} + 1)(\pecado 4^{\circ} + 1)....(\el pecado 88^{\circ} + 1) \\ (1 + \tan^2 1^{\circ})(1 + \tan^2 2^{\circ}) .. (1 + \tan^2 45^{\circ})$

Answer 1

He considerado que la fórmula más general : $$T(m):=\prod_{k=1}^m \tan\left(\frac{k\pi}{4m}\right)$$ y se dio cuenta que el resultado para valores pequeños de a $m$ a la solución de un polinomio de grado $\le m$. Para $m=45$ me encontrado que la respuesta estaba en la solución de este polinomio irreducible de grado $24$ : $$1\\- 3256701697315828896312\,x^1 - 325994294876282580655116\,x^2 + 7220097128841103979624568\,x^3 + 112578453555034444841119842\,x^4 + 493898299320136273975435032\,x^5 + 649061666980531722406164708\,x^6 - 840700351973464244018822232\,x^7 -2457988129238279755530778353\,x^8 - 138286882106888055215208624\,x^9 +2474525072938192662606171624\,x^{10}+326024084648343835216068912\,x^{11} - 1088043811994145989051965476\,x^{12} + 5147738954805237173669808\,x^{13} +182273284200850360076819304\,x^{14} - 33045263177263307887100976\,x^{15} + 677463542076505961377071\,x^{16} +170537100491574073221480\,x^{17} - 6714674580553776884700\,x^{18} - 128584156182235814952\,x^{19} - 339010000890501150\,x^{20}\\ +776030507612856\,x^{21} - 397610115660\,x^{22}\\ + 37004040\,x^{23} + 6561\,x^{24}$$

Este es un 'experimental' resultado (sin pruebas), sino más bien la satisfacción de los 'no es bueno' punto de vista ! ;-)