Autovalor y Autovector de a $\small\pmatrix{0 & 0 \\ 0 & -7}$

Question

Necesito ayuda con el trabajo fuera de los vectores propios de la matriz.

$ \begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} $

La matriz original es $ \begin {pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $ , los autovalores son 5,-2,

pero no estoy seguro de cómo acerca de los vectores propios,

como para 5

$ \begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ = $ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

a partir de la primera ecuación, $x$ $y$ son ambos cero, pero a partir de la segunda ecuación de $y = 0$, entonces, ¿cuál es el vector propio?

Answer 1

Para encontrar los vectores propios, que necesita para resolver el sistema lineal :

$$(A-\lambda I)v = 0$$

Para el caso de $\lambda = 5$, se tiene :

$$(A-5I)v_5=0 \Rightarrow\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \{ 0v_1 + 0v_2 = 0 |v_2 = 0 \}$$

Esto significa que el autoespacio se genera por $\{(v_1,v_2) \in \mathbb R^2 | v_1\in \mathbb R \space \text{and} \space v_2=0\}$, lo $v_1$ puede tomar cualquier valor sobre los reales desde $0v_1 = 0$ es cierto para todos los $v_1 \in \mathbb R$. Simplemente dejando $v_1=1$, producir el vector propio :

$$v_5 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}$$

Answer 2

No, a partir de la primera ecuación, $x$ $y$ son gratuitas. De la segunda ecuación, $y=0$. De manera que su vector propio es $$ \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} $$ como se puede comprobar, la ecuación se satisface.

Answer 3

De la primera ecuación se deduce lo que es x y la y, la ecuación tiene

$$0x+0y=0$$ A partir de la segunda ecuación se deduce que $y=0$ $$0x-7y=0 \implies -7y=0 \implies y=0$$ Así $$(x,y)=(x,0)=x(1,0)$$