Creo que el caso más fácil de entender es cuando usted tiene una inclusión de los grupos de $$R_1 \subseteq R_2 \subseteq \cdots $$ which are all subgroups of a very large group $\mathcal R$. Now the natural "limit" of this progression of groups is the union $$ R = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} R_i$$ Usually, the union of a collection of subgroups of a given group is not a group, but here $R$ is a group. Also, $R$ has a special property which you can immediately verify: (1) If $S$ is any other subgroup of $\mathcal R$, and all the $R_i$ are contained in $S$, then $R$ is contained in $S$.
Esta propiedad (1) es bastante obvio, pero se admite una generalización útil (también fácil de probar): (2) Si $S$ es cualquier grupo que sea, y $f_i: R_i \rightarrow S$ es una colección de grupo homomorphisms tal que la restricción de $f_i$$R_{i-1}$$f_{i-1}$, entonces no hay una única homomorphism $f: R \rightarrow S$ tal que $f_{|R_i} = f_i$ todos los $i$.
La razón por la que (2) es útil es que usted podría tener más general de la situación. En lugar de tener una inclusión de los grupos de $R_1 \subseteq R_2 \subseteq \cdots$, en su lugar podría tener una secuencia de inyectiva grupo homomorphisms $$R_1 \xrightarrow{h_1} R_2 \xrightarrow{h_2} R_3 \cdots$$
Esto es básicamente la misma situación que antes, ya que cada una de las $R_i$ puede ser considerado como un subgrupo de $R_{i+1}$, pero la transitividad de subgrupo inclusiones sólo puede hacerse de un número finito de pasos a la vez. Usted puede obtener una similar "límite" de los grupos $R_1, R_2, ...$, pero esta vez realmente no se puede tomar "la unión" de los grupos $R_1, R_2, ...$, debido a que, lógicamente, sólo tiene sentido tomar una unión de conjuntos que están contenidos en un conjunto mayor.
Un fantástico ejercicio para ayudar a su entendimiento de "direct límites" (de los que todo lo que he dicho en la respuesta a esto es un caso especial) es explícitamente la construcción de un grupo de $R$ que es un análogo de la "unión" de estos grupos $R_1, R_2$ etc. bajo el grupo homomorphisms $R_1 \xrightarrow{h_1} R_2 \xrightarrow{h_2} \cdots$. Usted sabrá que usted tiene el derecho de construcción cuando se puede integrar los grupos de $R_i$ a $R$, y demostrar que una propiedad similar a (2) se mantiene. Cuando yo era un estudiante, me he encontrado con conceptos similares y fue llevado naturalmente a pensar en problemas como este. He formulado y resuelto el problema exacto he sugerido, que me tomó cerca de 6 horas en una sola tarde (estoy bastante lento, probablemente no le llevará a usted que largo) y sólo después se enteró que este era un caso especial de una noción más general de "direct límite".
No estoy seguro de si $S_{\mathbb{N}}$ es realmente un límite en el mismo sentido de lo que estoy hablando (lo más natural sería la de dar a un grupo de monomorphism $h_n: S_n \rightarrow S_{n+1}$ donde $h_n(\sigma)$ siempre fija el elemento $(n+1)$, pero creo que si se construye la "límite" como he descrito (es decir, se tomó la "unión" de todos los $S_n$), se terminaría con un subgrupo de $S_{\mathbb{N}}$ que conste de las permutaciones que se solucionó todo, pero un número finito de elementos.
Como para $Z_2 \times Z_2 \times \cdots$ ser un "límite" de los grupos $Z_2, Z_2 \times Z_2, ...$ que es ligeramente diferente tipo de límite que el que se describe. Deje $R = Z_2 \times Z_2 \times \cdots$, y deje $R_n = \prod\limits_{i=1}^n Z_2$. Aquí, en lugar de tener inyectiva homomorphisms $R_1 \rightarrow R_2 \rightarrow \cdots$, que en realidad se desea trabajar con surjective homomorphisms $$\cdots \rightarrow R_3 \rightarrow R_2 \rightarrow R_1$$ Basically, $R$ is still a limit of the $R_n$, pero en un "doble sentido".
