Límite de una secuencia de estructuras algebraicas

Question

(Descargo de responsabilidad: yo soy un novato en el álgebra. Estoy en el Capítulo 13 de esta línea gratis álgebra abstracta libro. Este es un soft-pregunta, porque es un flojo "esta idea de hacer sentido" tipo de pregunta, en lugar de "resolver este problema".)

He estado pensando acerca de las secuencias de los grupos que, en cierto sentido, parecen más y más a algunos infinita grupo que tiene todas las de los grupos anteriores como subgrupos.

Por ejemplo, la secuencia de

$$\mathbb Z_2,~~~ \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2,~~~ \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2,~~~ \dots$$

en cierto sentido se acerca al grupo de $\mathbb Z_2^\infty$ (no estoy seguro de si se tiene más en común con el símbolo de infinito cadenas binarias en virtud de la operación XOR en modo bit.

Del mismo modo, la secuencia de

$$S_1,~ S_2,~ S_3,~ \dots$$

enfoques $S_\mathbb N$, el grupo simétrico de todos los números naturales. Por lo que podría ser tonto y escribir: $\lim_{n \to \infty} S_n = S_\mathbb N$.

¿El patrón que yo estoy viendo algún sentido? Estoy interesado a ver si estos "sorta-límites" puede ser una definición rigurosa. Hay alguna manera de definir la "distancia" entre dos grupos, por lo que la definición habitual^{de 1} para las secuencias se pueden aplicar a ellos, y hacer los patrones anteriores de trabajo bajo esa definición?

Por supuesto, no hay ninguna razón para restringir la pregunta a los grupos: ¿tienen sentido para los conjuntos, monoids, anillos, ...?

^{[1] es decir, la secuencia se acerca más y más a algunos límite de grupo $L$, y a ningún otro grupo.}

Answer 1

Creo que el caso más fácil de entender es cuando usted tiene una inclusión de los grupos de $$R_1 \subseteq R_2 \subseteq \cdots$$ which are all subgroups of a very large group $\mathcal R$. Now the natural "limit" of this progression of groups is the union $$R = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} R_i$$ Usually, the union of a collection of subgroups of a given group is not a group, but here $R$ is a group. Also, $R$ has a special property which you can immediately verify: (1) If $S$ is any other subgroup of $\mathcal R$, and all the $R_i$ are contained in $S$, then $R$ is contained in $S$.

Esta propiedad (1) es bastante obvio, pero se admite una generalización útil (también fácil de probar): (2) Si $S$ es cualquier grupo que sea, y $f_i: R_i \rightarrow S$ es una colección de grupo homomorphisms tal que la restricción de $f_i$$R_{i-1}$$f_{i-1}$, entonces no hay una única homomorphism $f: R \rightarrow S$ tal que $f_{|R_i} = f_i$ todos los $i$.

La razón por la que (2) es útil es que usted podría tener más general de la situación. En lugar de tener una inclusión de los grupos de $R_1 \subseteq R_2 \subseteq \cdots$, en su lugar podría tener una secuencia de inyectiva grupo homomorphisms $$R_1 \xrightarrow{h_1} R_2 \xrightarrow{h_2} R_3 \cdots$$

Esto es básicamente la misma situación que antes, ya que cada una de las $R_i$ puede ser considerado como un subgrupo de $R_{i+1}$, pero la transitividad de subgrupo inclusiones sólo puede hacerse de un número finito de pasos a la vez. Usted puede obtener una similar "límite" de los grupos $R_1, R_2, ...$, pero esta vez realmente no se puede tomar "la unión" de los grupos $R_1, R_2, ...$, debido a que, lógicamente, sólo tiene sentido tomar una unión de conjuntos que están contenidos en un conjunto mayor.

Un fantástico ejercicio para ayudar a su entendimiento de "direct límites" (de los que todo lo que he dicho en la respuesta a esto es un caso especial) es explícitamente la construcción de un grupo de $R$ que es un análogo de la "unión" de estos grupos $R_1, R_2$ etc. bajo el grupo homomorphisms $R_1 \xrightarrow{h_1} R_2 \xrightarrow{h_2} \cdots$. Usted sabrá que usted tiene el derecho de construcción cuando se puede integrar los grupos de $R_i$ a $R$, y demostrar que una propiedad similar a (2) se mantiene. Cuando yo era un estudiante, me he encontrado con conceptos similares y fue llevado naturalmente a pensar en problemas como este. He formulado y resuelto el problema exacto he sugerido, que me tomó cerca de 6 horas en una sola tarde (estoy bastante lento, probablemente no le llevará a usted que largo) y sólo después se enteró que este era un caso especial de una noción más general de "direct límite".

No estoy seguro de si $S_{\mathbb{N}}$ es realmente un límite en el mismo sentido de lo que estoy hablando (lo más natural sería la de dar a un grupo de monomorphism $h_n: S_n \rightarrow S_{n+1}$ donde $h_n(\sigma)$ siempre fija el elemento $(n+1)$, pero creo que si se construye la "límite" como he descrito (es decir, se tomó la "unión" de todos los $S_n$), se terminaría con un subgrupo de $S_{\mathbb{N}}$ que conste de las permutaciones que se solucionó todo, pero un número finito de elementos.

Como para $Z_2 \times Z_2 \times \cdots$ ser un "límite" de los grupos $Z_2, Z_2 \times Z_2, ...$ que es ligeramente diferente tipo de límite que el que se describe. Deje $R = Z_2 \times Z_2 \times \cdots$, y deje $R_n = \prod\limits_{i=1}^n Z_2$. Aquí, en lugar de tener inyectiva homomorphisms $R_1 \rightarrow R_2 \rightarrow \cdots$, que en realidad se desea trabajar con surjective homomorphisms $$\cdots \rightarrow R_3 \rightarrow R_2 \rightarrow R_1$$ Basically, $R$ is still a limit of the $R_n$, pero en un "doble sentido".