¿Por qué$e^x$ nunca es igual a$x$?

Question

Je veux savoir pourquoi$x=e^x$ n'a aucune solution dans$\Bbb R$. Lorsque j'ai essayé de tracer el gráfico de la función$e^x$, j'ai trouvé en fait qu'elle est une fonction strictement croissante mais je ne sais pas quoi faire abril.

Merci mon ami.

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Me gustaría saber por qué$x=e^x$ no tiene solución en$\Bbb R$? Intenté trazar la función$e^x$ y descubrí que es una función creciente pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Esto se comprueba fácilmente, por definición de$e^x$ . Para$x > 0$ tenemos$$ e^x = 1 + x + \sum_{k = 2}^\infty\frac{x^k}{k!}>x$$ and for $ x \ leq 0$ we have $$x \leq 0 < e^x.$ $

Answer 2

Si miramos el valor inicial para cada función$f(x)=x$ y$g(x)=e^x$, vemos que$f(0)=0 < g(0)=1$.

Ahora para$x>0$ tenemos$f'(x)=1$ y$g'(x) = e^x$ lo que nos dice que$f'(x) < g'(x)$ para todos$x > 0$, y así$$x \le e^x$$ for all $ x \ ge 0$. For negative $ x$ we know that $ e ^ x$ is strictly positive, so this tells us that $$x \le e^x$$ for all $ x \ in \ mathbb {R} $.

Answer 3

La función exponencial es una función convexa, ya que la segunda derivada es igual a la función, por lo que no es negativa. Esto implica que los gráficos de$f(x)=\exp(x)$ se encuentran por encima de la línea tangente en$x=0$, es decir:$$\forall \in\mathbb{R},\quad e^x \geq x+1.$ $

Answer 4

Si$x \leq 0$, entonces$e^x > 0 \geq x$.

Supongamos$x > 0$ y dejemos$f(x) = e^x - x $. Asi que $f'(x) = e^x - 1 > e^0 - 1 = 0$. Por lo tanto,$f$ está aumentando y desde$f(0) > 0$,$f(x) = e^x - x > 0$, finalmente$e^x > x$.

La desigualdad es estricta .