Galois de un polinomio irreductible $\mathbb {Q}$

Question

Deje $f \in\mathbb {Q}[X]$ ser reducible - por el bien de la simplicidad, $ f = gh$ $g,h \in\mathbb {Q}[X]$ irreductible. Vamos a L ser la división de campo de f.

Qué $Gal(f) \simeq Gal(g) \times Gal(h)$ mantener, fueron Gal(~) denota el grupo de galois de la división de campo de los respectivos polinomio?

Por lo que yo entiendo, cada elemento en el grupo de Galois g puede ser (no de forma exclusiva) extendido a un homomorphism de L a $\overline{\mathbb{Q}}$ desde L es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$, y debido a que la L es de galois ($\implies$de lo normal), se amplió el homomorphism mapas de L a L, por lo tanto, es un elemento de Gal(f). Por eso, $Gal(g) \subset Gal(f)$.

También sé que Gal(f) no actúa transitivamente sobre las raíces de f como f es reducible. Desde Gal(g) actúa transitivamente sobre las raíces de g y porque Gal(g) incrusta en Gal(f), no puede ser una automorphism en Gal(f) la asignación de una raíz de la g a la a raíz de la h, porque si tal automorphism existido, podría permutar todas las raíces de f en cualquier forma que yo quería, lo que no es posible.

Sin embargo, no veo cómo puedo resolver el problema que se me dijo en el comienzo de aquí.

Answer 1

Su argumento muestra que el $\text{Gal}(f)$ está contenido en $\text{Gal}(g)\times \text{Gal}(h)$, ya que se envía raíces de $g$ a las raíces de $g$ y las raíces de $h$ a las raíces de $h$. El ejemplo más sencillo que muestra que no se puede esperar que la igualdad en general es $f=g^2$. Claramente, en este caso $\text{Gal}(f)=\text{Gal}(g)$. Más generalmente, la igualdad ocurre si y sólo si la división de los campos de $g$ $h$ son disjuntas $\mathbb{Q}$. Tenga en cuenta que esto es más fuerte que $g$ $h$ coprime.

Ejercicio: encontrar dos polinomios irreducibles $g$ $h$ cuya división de los campos no son disjuntas $\mathbb{Q}$.