Problema de álgebra de Hungerford (Capítulo 1, Sección 8)

Question

Me quedé con el siguiente problema del Álgebra de Hungerford.

Deje que$H,K,N$ sea normal en un grupo$G$ tal que$G = H \times K$. Mostrar$N$ está en el centro de$G$ o intersecta$H$ o$K$ no trivialmente.

Intenté construir algún tipo de acción grupal en$N$ pero no me llevó a ninguna parte.

Answer 1

Supongamos que$N\cap H = N\cap K = \{1\}$ y dejamos$hk\in N$. Intente mostrar que$h\in Z(H)$ y$k\in Z(K)$. (Por ejemplo, si$h\notin Z(H)$, puede derivar una contradicción a$N\cap H = \{1\}$.)