$X$ es un espacio de Banach y $Y$ es una normativa espacio lineal. $(Y,\lVert\cdot\rVert_1)$ no es completa y $(Y,\lVert\cdot\rVert_2)$ es completa, mientras que $\lVert\cdot\rVert_2\ge\lVert\cdot\rVert_1$. Deje $T: X\to( Y,\lVert\cdot\rVert_1)$ ser un delimitada operador lineal. Demostrar que $T: X\to( Y,\lVert\cdot\rVert_2)$ es también una limitada operador lineal.
Por ejemplo, $Y$ puede $C([0,1])$. $\lVert\cdot\rVert_1$ es $L_1$ norma y $\lVert\cdot\rVert_2$ es sup norma.
He encontrado una sugerencia de mi libro de texto diciéndome cerrado utilizando el teorema de la gráfica, así que trato de dar una prueba ahora. Por cerró gráfico teorema, todo lo que necesitas es probar que T es cerrado operador.
En primer lugar, hay un lema que ayuda, y la prueba puede ser fácilmente encontrado en la Wiki.
Lema:$T:X\to Y$, para cualquier secuencia $x_n\to x_0$ e $Tx_n=y_n\to y_0$si $x_0\in\mathfrak D(T)$ e $y_0=Tx_0$, a continuación, $T$ es un cerrado operador.
Deje $x_n$ e $y_n$ ser el mismo que en el lema. $\lVert Tx_0-y_0\rVert_1 \leq\lVert Tx_0-Tx_n\rVert_1+\lVert Tx_n-y_0\rVert_1$. A continuación, $\lVert Tx_0-y_0\rVert_1 \leq \lim_{n\to \infty} C\lVert x_0-x_n\rVert_X+\lVert Tx_n-y_0\rVert_2=0$. Por lo tanto $Tx_0=y_0$ y T es cerrado operador, lo que completa la prueba.
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