Resolviendo

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} = -xy$.

Hasta ahora tengo:

$\frac{dy}{dx} = -xy$

$-xy\;dx = dy$

$\frac{1}{y}\;dy = -x\;dx$

$\ln(|y|) = -\frac{1}{2}x^2 + c$ (He combinado ambas constantes de integración en uno solo)

$y = e^c e^{-\frac{1}{2}x^2}$ o $y = -e^c e^{-\frac{1}{2}x^2}$

Nos parece correcto, pero me falta un caso particular: $y = 0$.

$e^c$ siempre es positivo, y por lo tanto es $-e^c$ siempre negativo. Utilizando tanto, he incluido todas las soluciones con la excepción de $y = 0$.

Para $y = 0$, la ecuación diferencial no tiene, sin embargo: $\frac{dy}{dx} = 0$ cualquier $x$, e $-xy = 0$ cualquier $x$.

Lo que me estoy perdiendo en mi cálculo?

Answer 1

La ecuación es $y'+xy=0$. Generalmente no me gusta dividir por $y$, en su lugar, tratar y hacer de esta la derivada de alguna función multiplicando con una exponencial. En este caso

$$ e^{x^2/2}y'+xe^{x^2/2}y=0 \Leftrightarrow (e^{x^2/2}y)'=0$$

Esto significa que no existe $c$ tal que $e^{x^2/2}y=c$ y, por tanto,$y=ce^{-x^2/2}$, y no se perdió ninguno de los casos.

Por supuesto, el método no funciona todo el tiempo, pero este es un lineal de primer orden de la ecuación, y siempre es solucionable como este, y hay incluso una fórmula directa para la solución de $y'+p(x)y=q(x)$ al $p,q$ continua:

$$ \int q(x)dx \cdot e^{-\int p(x)} $$

Answer 2

Una solución "general" de una ecuación diferencial a menudo omite algunos casos particulares, que pueden obtenerse como límites donde un parámetro va a$+\infty$ o$-\infty$. En este caso, tomaría$c \to -\infty$, así que$e^c e^{-x^2/2} \to 0$. O puede identificar$\pm e^c$ como un nuevo parámetro$A$, dándole la solución$y = A e^{-x^2/2}$ (y, por supuesto, el caso$A=0$ funciona, aunque no sea un valor de $\pm e^c$).