¿Cuál es el efecto de tomar la media de una estimación basada en momentos?

Question

Supongamos que yo estimo que la segunda y la cuarta momentos de una señal como

$M_2 \approx \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} | y_n |^2$

y

$M_4 \approx \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} | y_n |^4$

y entonces yo uso estos para la estimación de la SNR de la señal. Por ejemplo, Pauluzzi y Beaulieu ¹ describir un estimador para una María PSK la señal con ruido complejo:

$\rho = \frac{\sqrt{2 M_2^2 - M_4}}{M_2 - \sqrt{2 M_2^2 - M_4}}$

¿Cuál sería el efecto de tomar, digamos, $N'$ estimaciones de $\rho$ y el cálculo de la media de estas estimaciones, frente a sólo el uso de $N\times N'$ de muestras para la estimación de $M_2$ $M_4$ en el primer lugar?

Mi intuición me dice que el último es el más significativo, pero no puedo averiguar cómo explicar por qué.

¹ Pauluzzi, R. D.; Beaulieu, N. C., "Una comparación del SNR de las técnicas de estimación para el canal AWGN," en las Comunicaciones, IEEE transactions , vol.48, no.10, pp 1681-1691, Octubre 2000 doi: 10.1109/26.871393 (Enlace)

Answer 1

Como una regla general, es mejor utilizar un único estimador, que incorpora todos los más que el promedio de varios estimadores que utiliza los subconjuntos de datos (nota: embolsado podría ser pensado como una alternativa, pero que en realidad es un caso especial).

He aquí un ejemplo común de por qué se quiere de la piscina todos los datos en lugar de usar sólo el promedio de estratificado de los peritos, que creo que se aplica a su caso (aunque no es la única razón). Muchos de los estimadores son sesgados, pero coherente; estoy bastante seguro de que su caso es un ejemplo de eso. Supongamos entonces podemos escribir lo siguiente sobre el valor esperado:

$\mathbb{E}[\hat \theta] = \theta g(n) $,

con $|g(n) - 1| > |g(n+1)-1|$

y $\lim_{n \rightarrow \infty}g(n) = 1$

(Nota: hay casos de estimadores consistentes de que no cumpla con estos criterios, pero hay mucho más que hacer. Y creo que su estimador que se ajusta a este criterio).

Supongamos entonces tenemos $\hat \theta_1$$\hat \theta_2$, donde estos son estimadores utilizados desde el corte de nuestros datos en la mitad y por separado, la estimación de $\theta$ a partir de cada conjunto de datos. Mientras tanto, $\hat \theta_.$ es el estimador creado a partir de el uso de todos los datos.

Entonces tenemos que

$\mathbb{E}[ (\hat \theta_1 + \hat \theta_2)/2] = (\theta g(n/2) + \theta g(n/2) )/2 =\theta g(n/2)$

Mientras que en el otro lado

$\mathbb{E}[ (\hat \theta_.) ] = \theta g(n)$,

Desde $|1 - g(n)|$ < $|1 - g(n/2)$|,

esto implica que $\hat \theta_.$ es menos sesgada que $(\hat \theta_1 + \hat \theta_2)/2$

De manera más general, muchos de los estimadores han agradable asintótica propiedades. Cortando su totalidad de la muestra en muestras más pequeñas y un promedio de todo, puede ser la reducción de la asintótica efecto.