Explicación intuitiva de por qué la diferenciación compleja no es lineal sobre las partes real e imaginaria

Question

Supongamos que tenemos una función de valor complejo $f = u + iv \colon U \to \mathbb C$ definida en un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb C$ que es holomorfa.

Me preguntaron por qué es incorrecto utilizar la linealidad del operador de diferenciación para escribir $$ \frac{d}{dz} f(z) = \frac{d}{dz} (u(z) + iv(z)) = \frac{d}{dz} u(z) + i \frac{d}{dz} v(z). $$ Explicaba esto demostrando que una función de valor real que es holomorfa debe ser constante, y así para $\frac{d}{dz} u$ y $\frac{d}{dz} v$ existir $u$ y $v$ debe ser constante en $z$ . Sin embargo $f$ no es necesariamente constante, por lo que aplicar la linealidad de este modo no es válido. También demostré que las funciones de las partes real e imaginaria $\Re()$ y $\Im()$ no son holomorfas.

Intuitivamente creo que las funciones reales -valoradas y complejas -valoradas son una "cosa" diferente y el $\frac{d}{dz}$ vive en el "mundo del análisis complejo", por lo que, aunque es lineal sobre funciones complejas, no tiene sentido utilizarlo en el contexto de funciones de valor real. Sin embargo, me preguntaba si existe una explicación más clara o quizás más profunda.

Answer 1

La explicación que escribes es una explicación correcta de por qué no necesariamente se puede hablar de $\frac{d}{dz}u(z)$ y $\frac{d}{dz}v(z)$ - los límites simplemente no existen en general. Pero hay que tener cuidado. Lo que estamos diciendo es que los siguientes límites (tomados en el plano complejo) no existen: $$ \frac{d}{dz}u(z) := \mbox{lim}_{h\rightarrow 0}\frac{u(z+h) - u(z)}{h}\\ \\ \frac{d}{dz}v(z) := \mbox{lim}_{h\rightarrow 0}\frac{v(z+h) - v(z)}{h}\\ $$ La existencia de estos límites es una restricción muy fuerte porque se requiere el mismo valor para el límite sin importar la "dirección". $h$ se acerca a $0$ de.

Por otro lado, lo que se suele hacer en el análisis complejo es que el ( parcial ) operadores diferenciales $\frac{\partial}{\partial z}$ y $\frac{\partial}{\partial\overline{z}}$ se definen como $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y}\right)$ y $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - \frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y}\right)$ respectivamente. Con estas definiciones, es bastante inmediato que $\frac{\partial}{\partial z}f(z) = \frac{\partial}{\partial z}u(z) + i\frac{\partial }{\partial z}v(z)$ (estos operadores son lineales). Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se encuentra que $\frac{\partial}{\partial \overline{z}}f(z) = 0$ para $f(z)$ holomórfico. De hecho, esta condición sobre $f$ es de hecho equivalente a la holomorficidad. También en este caso es cierto que $\frac{\partial}{\partial z}f(z) = \frac{d}{dz}f(z)$ . Pero seguimos no tienen $\frac{\partial }{\partial z}u(z) = \frac{d}{dz}u(z)$ (resp. para $v$ ), porque esta última puede sencillamente no existir.

Por tanto, hay que tener cuidado al trabajar con todos estos operadores en análisis complejos.

En cuanto a tu intuición sobre las funciones de valor real y complejo. Seguramente son seres diferentes, pero realmente, las funciones de valor real son, en particular, funciones de valor complejo porque existe una incrustación natural de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$ (al menos, una vez $i$ está "definido"). Sólo hay que tener en cuenta que no todas las funciones suaves de valor complejo son realmente holomorfas.

Anexo (para ampliar la respuesta al comentario de Tanuj en el OP):

La cuestión no es la linealidad del operador $\frac{d}{dz}$ en $\mathbb{C}$ frente a $\mathbb{R}$ . Este operador ya está $\mathbb{C}$ -lineal y $\mathbb{C}$ -linealidad implica $\mathbb{R}$ -linealidad (por supuesto, lo contrario no tiene por qué ser cierto). La cuestión puede plantearse de la siguiente manera: pensemos en los operadores diferenciales $\frac{d}{dz}$ , $\frac{\partial }{\partial z}$ y $\frac{\partial}{\partial\overline{z}}$ como mapas lineales entre espacios de funciones (que lo son): $$ \begin{align*} \frac{d}{dz} &: \mathscr{O}(U) \rightarrow \mathscr{O}(U)\\ \\ \frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial\overline{z}} &: \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{C}^{\infty}(U, \mathbb{C}) \end{align*} $$ donde $\mathscr{O}(U)$ denota el espacio de funciones holomorfas sobre $U$ y $\mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C})$ denota el espacio de funciones suaves de valor complejo sobre $U$ . Tenemos las inclusiones (lineales) $\mathscr{O}(U) \hookrightarrow \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C})$ y $\mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{R}) \hookrightarrow \mathcal{C}^{\infty}(U, \mathbb{C})$ y el hecho de que las únicas funciones holomorfas de valor real sean las constantes equivale a decir que $\mathscr{O}(U)\cap \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ (la intersección que tiene lugar en $\mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C})$ y donde pensamos en $\mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{C} \hookrightarrow \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C})$ como la inclusión natural de las funciones constantes).

Ahora bien, lo que he dicho anteriormente (antes de la adición) equivale esencialmente a las afirmaciones de que

1. $\frac{d}{dz}$ no puede extenderse a un mapa $\mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C}) \rightarrow \mathscr{O}(U)$ aplicando la misma definición de límite a una función suave de valor complejo arbitraria (esto no quiere decir que no pueda extenderse de alguna otra forma más extraña, que de hecho podría)
2. los operadores $\frac{\partial }{\partial z}$ y $\frac{\partial }{\partial \overline{z}}$ son efectivamente lineales en todos de $\mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C})$ y $\mbox{ker}\left(\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\right) = \mathscr{O}(U)$
3. el operador $\frac{\partial}{\partial z}$ restringido al subespacio $\mathscr{O}(U)$ coincide con la composición de $\frac{d}{dz}$ con la inclusión $\mathscr{O}(U) \hookrightarrow \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{C})$ y esto se deduce de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Answer 2

Yo diría que la fórmula es correcta, pero hay que especificar que $u=u(z, \overline{z})$ y $v=v(z, \overline{z})$ y tratar $z$ y $\overline{z}$ como dos coordenadas independientes. Efectivamente, estás utilizando coordenadas complejas para parametrizar un espacio real: estás en $\mathbb{C}$ pero regalaste la estructura compleja por lo que realmente estás en $\mathbb{R}^2$ . Se necesitan dos coordenadas independientes para parametrizarlo.

Por ejemplo, $f(z)=z$ da $u=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$ y $v=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$ . Ahora la fórmula es correcta: \begin{equation} \begin{split} 1=\frac{dz}{dz} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{2}(z+\overline{z})\right) + \frac{\partial}{\partial z} i\left(\frac{1}{2i}(z-\overline{z})\right) =1. \end{split} \end{equation}

Ver también Derivados de Wirtinger .

Answer 3

Las partes real e imaginaria no son analíticas. La expansión local de Taylor es

$u(z + h) = u(z) + ah + b\bar{h} + $ [suma de funciones polinómicas de grado superior de $(h,\bar{h})$ ].

La aproximación de grado 1 de $u(z)$ cerca de $z_0$ no es, por tanto, de la forma $u(z_0) +B (\Delta z)$ pero $u(z_0) + B (\Delta z) + C(\overline{\Delta z})$ .

En la situación típica en la que $C \neq 0$ el cociente de diferencias $\frac{u(z + h) - u(z)}{h}$ no convergerá a un límite como $h \to 0$ ya que es igual a $(B+C\frac{\overline{h}}{h}+o(1))$ que sólo converge a lo largo de trayectorias (asintóticamente) radiales.

Por tanto, la perturbación con respecto a $z$ tiene sentido, $du = u(z + dz) - u(z)$ pero su descripción en términos de $dz$ ya no es coherente con la idea de aproximación $\mathbb{C}$ -Dependencia lineal de $dz$ solo. Más bien, hay que introducir $d\overline{z}$ y los operadores derivados duales a él y $dz$ .