Prueba formal de la estabilidad de Lyapunov

Question

Yo estaba tratando de resolver la cuestión de la AeT. en el (local) de estabilidad de Lyapunov del origen (no hiperbólico de equilibrio) para el sistema dinámico $$\dot{x}=-4y+x^2\\\dot{y}=4x+y^2$$

El streamplot a continuación indica que esto es realmente cierto.

Realizar el cambio de variables a coordenadas polares $x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$ y después de algunos trigonométricas manipulaciones hemos resultado en $$\dot{r}=r^2(\cos^3\phi+\sin^3\phi)\\ \dot{\phi}=4+r^2\sin\phi(\sin\phi-\cos\phi)$$

A partir de este conjunto de ecuaciones quiero demostrar que si empezamos con los suficientemente pequeño $r$ $r$ se quedará delimitada con muy pequeñas variaciones a lo largo del tiempo.

Mi enfoque intuitivo: Por muy pequeño $r$ $$\dot{\phi}\approx 4$$ that yields $$\phi(t)\approx 4t +\phi_0$$ Si reemplazamos en la $r$ dinámica obtenemos $$\dot{r}\approx r^2\left[\cos^3(4t+\phi_0)+\sin^3(4t+\phi_0)\right]$$ La integración de más de $[0,t]$ obtenemos $$\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r(t)}\approx \int_0^t{\left[\cos^3(4s+\phi_0)+\sin^3(4s+\phi_0)\right]ds}$$ El lado derecho está claramente delimitado en función del tiempo con valor absoluto delimitada por $4\pi$ desde $$\int_{t_0}^{t_0+2\pi}{\left[\cos^3(4s+\phi_0)+\sin^3(4s+\phi_0)\right]ds}=0 \quad \forall t_0$$ Así, por muy pequeño $r_0$ que es cierto que $r(t)\approx r_0$.

Entiendo que el análisis anterior es, al menos, incompleta (si no errónea), y yo estaría encantado si alguien puede proporcionar un tratamiento riguroso del problema.

Creo que un "singular-la perturbación como" enfoque puede ser la solución (delimitador $r$$\epsilon$) y considerando el sistema de comparación para demostrar el mundial de acotamiento resultado, pero no he avanzado mucho hasta ahora.

Answer 1

Hay otra idea que podría ser dada por streamplot. Dos observaciones: 1) las trayectorias son sospechosamente simétrica; 2) la mayoría de ellos parecen cerrado trayectorias. Por lo tanto, no es razonable tratando de encontrar sólo Lyapunov función: la función de Lyapunov significa algún tipo de disipación de cerca de equilibrio, y aquí se parece más a los que tenemos una familia de trayectorias cerradas alrededor del punto de equilibrio, es decir, algún tipo de conservación. Para demostrar que hemos cerrado las trayectorias podemos usar dos conceptos: la primera integral y equivariant sistema (sistema con simetría). Ambos métodos pueden ayudar a demostrar que algunas curvas integrales son cerradas: primera integral método utiliza el hecho de que las curvas integrales de la mentira en sus conjuntos de nivel (y si algunas de ellas cerradas y no contienen equilibrios, entonces la integral de la curva es cerrada); equivariance en su forma más simple utiliza simetrías como la reflexión.

Traté de subir con la primera parte integral de este sistema, pero no tuve éxito. Entonces me decidí a comprobar la simetría. Yo esperaba que la simetría será generado por la reflexión w.r.t. la línea $y=-x$ y quería comprobar que. Primero, vamos a hacer el cambio de variables: $$ u = x + y, \; v = x - y .$$ El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para las nuevas variables se parece a esto: $$ \dot{u} = 4v + \frac{u^2+v^2}{2}, $$ $$ \dot{v} = u (v - 4). $$

Yo tenía la sospecha de que la asignación de $(u, v) \mapsto (-u, v)$ envía trayectorias trayectorias. Echemos un vistazo a esto. Supongamos que tenemos la solución a$(\hat{u}(t), \hat{v}(t))$; $(-\hat{u}(t), \hat{v}(t))$ ser la solución?

$$ \frac{d}{dt} \left ( -\hat{u}(t) \right )= -\frac{d}{dt} \left (\hat{u}(t) \right ) = - 4\hat{v}(t) - \frac{\hat{u}^2(t)+\hat{v}(t)^2}{2} \neq 4\hat{v}(t) + \frac{(-\hat{u}(t))^2+\hat{v}(t)^2}{2} $$ $$ \frac{d}{dt} \left ( \hat{v}(t) \right ) = \hat{u}(t) (\hat{v}(t) - 4) \neq (-\hat{u}(t) \cdot(\hat{v}(t) - 4) . $$

Bien, esto simplemente significa que $(u, v) \mapsto (-u, v)$ no es una simetría de este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Euh. Hay un molesto signo menos que estropea todo. Ni $(u, v) \mapsto (-u, -v)$ ni $(u, v) \mapsto (u, -v)$ no solucionarlo. En este momento me acordé de que también hay sistemas reversibles. Esto me sugiere para comprobar si la asignación de $(\hat{u}(t), \hat{v}(t)) \mapsto (-\hat{u}(-t), \hat{v}(-t)$ envía trayectorias trayectorias. Y sí, se envía :)

Qué todo este alboroto? Por qué reversibilidad (de la propiedad, que $(-u(-t), v(-t))$ es también una solución al $(u(t), v(t))$ es una solución) ayuda aquí? Permítanme ilustrar esto:

Creo que la imagen es bastante auto-explicativo. De aquí se sigue que todas las trayectorias que se cruzan $u=0$ dos veces están cerrados. No es difícil demostrar que las trayectorias en algún barrio de origen tienen esta propiedad. De esto podemos concluir que el origen es el centro de equilibrio, que es de Lyapunov estable, pero no asintóticamente Lyapunov estable.