¿Existe una secuencia no creciente con estas propiedades?

Question

A partir de ¿Existe una secuencia con estas propiedades?

¿Existe una secuencia no creciente $a_n\in \mathbb{R}^{>0}$ tal que$$\liminf_{N\rightarrow \infty}~~~ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n >0$ $

y$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n\cdot n^2} = \infty~~?$ $

Tenga en cuenta que las primeras conjeturas obvias -$a_n = 1/n$,$a_n = \log(n)/n$ no funcionan.

Answer 1

La respuesta es que no hay tal secuencia. Si su secuencia $a_n$ es no creciente y acotada a continuación (en este caso 0), es una secuencia convergente, por lo que tenemos $a_n \to a$ algunos $a \geq 0$. Sin embargo, si una secuencia converge, lo hace la secuencia de medios (véase, por ejemplo, esta pregunta), con el mismo límite. Así tenemos

$$\liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n = a$$

Por lo tanto necesitamos $a > 0$ para satisfacer la primera condición. Pero desde $a_n$ es no creciente, también tenemos $a_n \geq a$ todos los $n\in \mathbb{N}$. A continuación,$\frac{1}{a_n n^2} \leq \frac{1}{a n^2}$, y así obtenemos

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_nn^2} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a n^2} = \frac{1}{a} \frac{\pi^2}{6} < \infty.$$

En otras palabras, la segunda condición no se puede sostener.