¿Cuándo se rompe la fórmula de cambio de variables de Rudin?

Question

Aquí es Rudin del cambio de variables Teorema:

Mi pregunta es esta: ¿cuáles son los ejemplos donde $\varphi$ no siendo estrictamente creciente o no la asignación de intervalo de $[a,b]$ $[A,B]$rompe el teorema? Por ejemplo, estoy pensando en $\varphi$ una parábola con punto mínimo en la unidad de intervalo. El uso de Rudin del caso especial de comentario ( $\alpha(x)=x$ $\beta(x)=\varphi$ ) sigo computación $$\int_0^1 f(x)dx=\int_0^1f(\varphi(y))\varphi'(y)dy$$ con varias opciones de $f$, y sigo recibiendo estas integrales son iguales. ¿Significa esto $\varphi$ no necesita de tales condiciones estrictas?

Si dejamos $a$ ser el punto mínimo esto parece sorprendente, ya que el $\varphi$ sólo es estrictamente creciente en a $[a,1]$.

Answer 1

Si no te importa el desprendimiento de la hipótesis un poco:

Teorema: Supongamos $\phi:[a,b] \rightarrow I$ donde $I$ es un intervalo, es un $C^1$ función y $f$ es una función continua en a $I$. Entonces

$$\int_{[\phi(a),\phi(b)]} f=\int_{[a,b]} f \circ \phi \cdot \phi',$$

donde $\int_{[\phi(a),\phi(b)]} f:=-\int_{[\phi(b),\phi(a)]} f$ si $\phi(b) < \phi(a)$.

Prueba: Desde $f$ es continua, elija una función de $F$ tal que $F'=f$ (esto se deduce de la FTC, en inglés). Definir $H:=F \circ \phi$. Entonces tenemos que $H'=f\circ \phi \cdot \phi'.$ por lo Tanto,

$$\int_{[a,b]} f \circ \phi \cdot \phi'=\int_{[a,b]} H'=H(b)-H(a)$$

$$=F \circ \phi(b)- F \circ \phi(a)=F(\phi(b))-F(\phi(a))=\int_{[\phi(a),\phi(b)]} f.$$

$\blacksquare$

Tenga en cuenta que no necesitamos a $\phi$ va en aumento.