El siguiente teorema es en Drabek, Milota del Análisis no Lineal. Como Drabek y Milota, no voy a asumir a priori Tartas diferenciales son continuos ni lineal.
Teorema. Deje $X,Y$ ser normativa espacios, y $f: X \rightarrow Y$ un mapa (tal vez no continuo). Fix $a,b \in X$. Supongamos que las Tartas diferencial $df(a+t(b-a); b-a)$ existe para todas las $t \in [0,1]$. Entonces, tenemos la estimación $$ ||f(b)-f(a)||_Y \leq \sup_{t \in [0,1]} ||df(a+t(b-a) ; b-a) ||_Y.$$
La prueba utiliza la de Hahn-Banach Teorema (o un corolario de la misma), mediante la adopción de un funcional lineal $\varphi \in X^*$ tal que $||\varphi||_{X^*}=1$ e $\varphi(f(b)-f(a)) = ||f(b)-f(a)||$.
Me gustaría saber si el uso de la de Hahn-Banach Teorema - o, más en general, el Axioma de Elección es necesaria para demostrar el teorema (es decir, no existe una prueba de que no hace uso de la opción principios)? Yo también estaría interesado en más débiles de la elección de principios, tales como dependiente o contables elección.
También he probado a modificar el argumento vi en Cartan del Cálculo Diferencial en la prueba del Valor medio Teorema de mapas diferenciables $[a,b] \rightarrow Y$, $Y$ una normativa espacio (el argumento no requiere de la elección de principios); véase Teorema 3.1.1, página 37-39 en Cartan. Algo en analogía a Cartan del argumento, me han tratado de definir
$$E= \{t \in [0,1] | \text{ for every neighbourhood } U \text{ of } 0, \text{ there is } p \in U \text{ such that } |p| ||f(b)-f(a)||_Y > ||f(a+t(b-a) + p(b-a)) - f(a+t(b-a)) ||_Y \}.$$
Entonces tal vez podría mostrar $E$ está abierto en $\mathbb R$ y se nota que a $\inf E \notin E$. No estoy seguro exactamente de cómo proceder para obtener una contradicción (como en Cartan de la prueba), sin embargo. Mis ideas para este intento no están bien formados, pero pensé que sería útil mencionar Cartan de la prueba.
Tal vez este stackexchange pregunta también es útil: ¿una necesidad el de Hahn-Banach teorema a demostrar el valor de la media de la desigualdad de los mapas en una normativa espacio?, a pesar de que estoy interesado en la versión de la Media del teorema del Valor que implican las Tartas derivados como se indicó anteriormente.
Gracias de antemano.
Edit: para referencia, voy a incluir de Cartan del Teorema de aquí y un bosquejo de la prueba. (El teorema se expresa de Banach $Y$, pero la integridad es, en realidad, innecesaria). Es la prueba del Teorema 3.1.1 he intentado modificar para mi caso en particular, pero parece que yo no estoy seguro de cómo proceder.
Teorema (Cartan, 3.1.1). Deje $Y$ ser normativa, vamos a $f:[c,d] \rightarrow Y, g:[c,d] \rightarrow \mathbb R$ ser mapas. Supongamos que el derecho de los derivados $f'_{+}, g'_{+}$ existe en todos los puntos en $(c,d)$, y se supone que $||f'_{+}(x)|| \leq g'_{+}(x)$ para todos los $x \in (c,d)$. A continuación, $$||f(d)-f(c)|| \leq g(d)-g(c).$$
Boceto: después de Cartan, uno corrige $\varepsilon>0$ y pone $$U = \{x \in [c,d] | ||f(x)-f(c)|| > g(x)-g(c)+ \varepsilon(x-c) \}.$$ Aiming for a contradiction, suppose $U$ is not empty. Then, $U$ is open and let us define $\alpha= \inf U$; then, $\alpha \noen U$, and in fact, $\alpha>c$. By the existence of the right derivatives, there is a $\delta>0$ such that for any $\alpha<t<\alpha+\delta$, uno tiene $$ - \frac{\varepsilon}{2} + \left | \left | \frac{f(t)-f(\alpha)}{t-\alpha} \right | \right | \leq || f'_{+}(\alpha) || \leq g'_{+}(\alpha) < \frac{g(t)-g(\alpha)}{t-\alpha} + \frac{\varepsilon}{2}.$$ It follows that $||f(t)-f(\alpha)|| < g(t)-g(\alpha) + \varepsilon(t-\alpha)$ for every $\alpha<t<\alpha+\delta$.
Desde $\alpha \notin U$, también tenemos $||f(\alpha)-f(c)|| \leq g(\alpha)-g(c)-\varepsilon(\alpha-c)$. Si $t \in (\alpha, \alpha+\delta)$, luego \begin{align*} ||f(t)-f(c)|| &\leq ||f(t) - f(\alpha)|| + ||f(\alpha)-f(c) || \\ & \leq (g(t)-g(\alpha) + \varepsilon(t-\alpha) ) + (g(\alpha)-g(c)+ \varepsilon(\alpha-c) \\ &= g(t)-g(c)+\varepsilon(t-c). \end{align*}
Así, $(\alpha, \alpha+\delta) \cap U = \emptyset$ y supuestamente $\alpha = \inf U$, lo cual es imposible. Así en el hecho de $U=\emptyset$, y por lo tanto $b \in U^c$, de donde se desprende $||f(b)-f(a)|| \leq g(b)-g(a)+\varepsilon(b-a)$ e $\varepsilon$ fue arbitraria. $\blacksquare$
Observación: el Teorema sigue siendo cierto si a la derecha la diferenciabilidad es asumido por todos, pero countably muchos puntos en $(c,d)$.
Corolario (Cartan, 3.3.1). Deje $X,Y$ ser normativa, vamos a $f:U \rightarrow Y $ ser un mapa (donde $U \subseteq X$ es abierto y no vacío) y arreglar $x,y \in U$. Supongamos que el segmento de línea entre $x$ e $y$ está contenido en $U$, y supongamos que $f$ es Frechet diferenciable en a$U$. A continuación, $$||f(x)-f(y)||_Y \leq \sup ||f'(\zeta)||_Y ||x-y||_X,$$ where the sup is taken over the line segment between $x$ and $$ y.
(Por el corolario de la siguiente manera a partir de la aplicación de Teorema 3.1.1 a $g:= f \circ \psi$, donde $\psi:[0,1] \rightarrow X, t \mapsto tx+(1-t)y$).
