¿Existe alguna desigualdad entre el número de condición de 2 normas y el número de condición de norma de Frobenius para la matriz rectangular?

Question

Lo que he encontrado en [1]

La condición de desigualdad entre la norma de Frobenius y 2-norma para la plaza de la matriz,

Considere la posibilidad de un completo rango de la matriz $X \in \mathbb{C}^{n \times m}$, $m=n$, entonces podemos tener,

$$n - 2 + \frac{1}{\kappa_2(X)} + \kappa_2(X) \le \kappa_F(X).$$

Pregunta: ¿esta desigualdad obras para el caso cuando $m \neq n$?

Si no has visto otro tipo de relación entre ellos?

Actualización:

El siguiente documento [2] se menciona que es una extensión natural de no rectangular caso, no entiendo por qué. lea las siguientes dos ecuaciones la ecuación (3.7) en [2].

Ref:

[1] Smith, Russell A. "La condición de los números de la matriz autovalor problema". Numerische Mathematik 10.3 (1967): 232-240.

[2] Bazán, F. S. V. (2000). Acondicionado Rectangulares en las Matrices de Vandermonde con Nodos en la Unidad de Disco. SIAM Journal on de la Matriz de Análisis y Aplicaciones, 21(2), 679-693. https://doi.org/10.1137/S0895479898336021

Answer 1

Reclamo: Definir $\kappa(A) = \Vert A \Vert \cdot \Vert A^\dagger \Vert$ y supongamos $X$ es el rango $k$. A continuación, $$k - 2 + \frac{1}{\kappa_2(X)} + \kappa_2(X) \le \kappa_F(X)$$ Por otra parte, esta obligado es apretado desde una matriz diagonal con $k$ valores idénticos seguidos de ceros alcanza el límite.

Prueba: Supongamos $X \in \mathbb{C}^{n\times m}$ con rango de $k$ y valores singulares de $$\sigma_1 \geq \cdots \geq \sigma_k \geq 0 \geq \cdots \geq 0$$

A continuación, $X^{\dagger}$ tiene valores singulares, $$1/\sigma_k \geq \cdots \geq 1/\sigma_1 \geq 0 \geq \cdots \geq 0$$

Por lo tanto, $$\kappa_2(X) = \Vert X\Vert_2 \Vert X^\daga \Vert_2 = \sigma_1/\sigma_k$$ y $$\kappa_F(X) = \Vert X\Vert_F \Vert X^\daga \Vert_F = \sqrt{\left(\sum_{i=1}^{k} \sigma_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sigma_i^2}\right)}$$

Definir $X'$ a de la $k\times k$ matriz con $\sigma_1,\ldots, \sigma_k$ en la diagonal. A continuación, $X'$ es de rango completo y de la plaza, por lo que el resultado es por la observación de que $\kappa_2(X) = \kappa_2(X')$ e $\kappa_F(X) = \kappa_F(X')$.