No, no lo son. Para retroceder un poco, hay dos diferentes (NO equivalente) definiciones estándar de un álgebra sobre un anillo conmutativo $R$. (Aquí anillos de tener siempre la unidad; si se permite a los no-unital anillos hay algunas modificaciones.)
Definición 1: Un $R$-álgebra a es un anillo de $A$ junto con un homomorphism $f:R\to A$ que la imagen de $f$ está contenida en el centro de la $A$.
Definición 2: Un $R$-álgebra es una $R$-módulo de $A$ junto con un $R$-bilineal mapa de $\mu:A\times A\to A$.
¿Cómo son estas definiciones relacionadas? Bien, si requieren $\mu$ en la Definición 2 se asociativa y tiene una unidad, entonces es $A$ un anillo. Por otra parte, no es entonces un anillo-homomorphism $f:R\to A$, dado por $f(r)=r\cdot 1$ (aquí la multiplicación es la multiplicación escalar y $1$ es la unidad de $\mu$), y la imagen de $f$ está contenida en el centro de la $A$. (La prueba de que $f$ es un anillo-homomorphism y que su imagen se encuentra en el centro de usos el hecho de que $\mu$ es $R$-bilineal.)
Así, un unital asociativa $R$-álgebra, por Definición, 2 es también una $R$-álgebra, por Definición, 1. Por el contrario, si $f:R\to A$ hace $A$ una $R$-álgebra, por Definición, 1, $A$ es $R$-módulo por la definición de $r\cdot a=f(r)a$ (la multiplicación en el derecho, de la estructura de anillo de $R$. Por otra parte, la multiplicación de mapa de $A$ es $R$-bilineal (la prueba de ello se utiliza el hecho de que la imagen de $f$ está contenida en el centro de la $A$).
Es fácil ver que estas dos construcciones son inverso, de modo que un $R$-álgebra en el sentido de la Definición 1 es el mismo que el de un unital asociativa $R$-álgebra en el sentido de la Definición 2. En contextos en donde la Definición 2 se utiliza, una $R$-álgebra, por Definición, 1 es lo que normalmente se conoce como (unital) asociativa $R$-álgebra. En contextos en donde la Definición 1 se utiliza, una $R$-álgebra por la Definición 2 se denomina normalmente no asociativo $R$-álgebra.
Como nota final, la primera definición que se cita es como la Definición 1, pero sin el requisito de que la imagen de $f$ está contenida en el centro de la $A$. Esto es no una definición estándar de un $R$-álgebra. Sospecho, sin embargo, que el contexto en el que se encuentra la definición fue uno en el que todos los anillos son asumidos para ser conmutativa (como es típico en álgebra conmutativa), y por lo tanto la imagen de $f$ se incluye automáticamente en el centro de la $A$. Tenga en cuenta que en el álgebra conmutativa, es común que los "$R$-álgebra" que significa "conmutativa $R$-álgebra de acuerdo a la Definición 1", así como "el anillo" es a menudo significa "anillo conmutativo".
