$\mathbb{C}P^1\times...\times \mathbb{C}P^1/S_m=\mathbb{C}P^m$

Question

Deje que $X:=\mathbb{C}P^1\times...\times \mathbb{C}P^1$ sea el producto de $m$ copias de $\mathbb{C}P^1$ y $S_m$ actúa sobre $X$ al permutar los factores. Entonces, ¿por qué es $X/S_m=\mathbb{C}P^m$ ?

Answer 1

Considerar la línea bundle $\mathcal{O}(n)$ a $\mathbb{CP}^{1}$ cuyas secciones son polinomios homogéneos de grado n en 2 variables. Luego, si nos projectivise el espacio de las secciones (es decir, considerar la posibilidad de $\mathbb{P}(H^{0}(\mathbb{P}^{1},\mathcal{O}(n)))$ obtenemos un espacio proyectivo de dimensión $n$. Además, cada elemento de este espacio proyectivo da $n$ desordenada puntos en $\mathbb{P}^{1}$ ya que podemos factorizar un polinomio homogéneo en $2$ variables como un producto de polinomios de grado uno.