¿Existe un número real a una distancia determinada de cada número racional?

Question

Dejemos que $r_n$ sea una enumeración de los números racionales y que $a_n$ sea una secuencia de números reales positivos que converge a cero. ¿Existe $x\in \mathbb{R}$ tal que $|x-r_n|>a_n$ para todos $n$ ?

Este problema se inspiró en una versión más sencilla del problema en la que asumimos la condición más fuerte de que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. Tengo una solución sencilla para este caso en particular, pero la pondré en spoiler por si alguien quiere probarla también.

Dejemos que $\Omega$ denotan el conjunto de $x\in \mathbb{R}$ que no satisfacen la propiedad dada; afirmamos que $\Omega \neq \mathbb{R}$ y así un $x\in \mathbb{R}$ con determinada propiedad existe. De hecho, $\Omega=\{x\in\mathbb{R} \ | \ \exists \ n\in \mathbb{N} \ \mathrm{such \ that} \ |x-r_n| \leq a_n\}=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty \ [r_n-a_n,r_n+a_n]$
cuya medida de Lebesgue $\lambda(\Omega)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \lambda([r_n-a_n,r_n+a_n])=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2a_n < \infty$ Así que $\Omega \neq \mathbb{R}$ .

Desgraciadamente es muy específico para este caso particular así que dudo que ayude con el caso general, que no tengo ni idea de cómo resolver. Supongo que, a menos que me esté perdiendo algo obvio, utiliza alguna teoría más profunda (¿medida de irracionalidad?) que no he aprendido. Se agradecerían ideas para el caso general o soluciones alternativas (más elementales) para el caso más fácil.

Answer 1

No, este no es el caso, y de hecho es nunca el caso: cualquier enumeración de racionales tiene una "secuencia insatisfactible" (es decir, una secuencia de reales que tiende a cero, es decir, estrictamente decreciente). - tal que ningún real satisface el requisito correspondiente de las distancias a los racionales) .

(Al mismo tiempo, dada una secuencia $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ es fácil construir una enumeración de los racionales con respecto a los cuales esa secuencia es satisfacible - sólo hay que jugar a "mantenerse alejado de $\pi$ y se asegura de que todos los racionales acaben siendo arrojados, por lo que este es el resultado negativo más fuerte al que podemos aspirar).

Para simplificar, veamos $[0,\infty)$ en lugar de $\mathbb{R}$ (esto no supone una diferencia sustancial).

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El punto clave es la siguiente imagen: picamos $[0,\infty)$ en bloques $B_i$ tal que el tamaño del bloque $B_i$ llega a cero a medida que $i$ va a $\infty$ . Una forma de hacerlo es definir el $B_i$ s inductivamente por $B_0=[0,1)$ y $B_{i+1}=[\sum_{0<j\le i}{1\over j}, (\sum_{0<j\le i}{1\over j})+{1\over i+1})$ . Tenga en cuenta que cada $B_k$ tiene "diámetro" ${1\over k+1}$ y, por tanto, si $q\in B_k$ entonces la pelota alrededor $q$ con radio ${2\over k+1}$ cubre $B_k$ .

Ahora fija cualquier enumeración de racionales $E=(r_i)_{i\in\mathbb{N}}$ , y elegir una secuencia $n_i$ ( $i\in\mathbb{N}$ ) de naturales tales que:

• $n_i<n_{i+1}$ y

• $r_{n_i}\in B_i$ .

Esta secuencia debe existir ya que $B_i\cap\mathbb{Q}$ es siempre infinito.

Por último, dejemos que $A=(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ sea cualquier secuencia estrictamente descendente de racionales tal que $a_{n_i}={2\over i+1}$ para todos $i$ . El conjunto $$\{(r_{n_i}-a_i, r_{n_i}+a_i): i\in\mathbb{N}\}$$ cubre $[0,\infty)$ ya que cada $(r_{n_i}-a_i, r_{n_i}+a_i)$ cubre el correspondiente $B_i$ . Así que la secuencia $A$ es insatisfactible para la enumeración $E$ .

Answer 2

La respuesta es no. Considere la siguiente portada abierta de $\Bbb R$ :

$$\mathcal U=\{ (H_{2n} , H_{2n+4}) \ | n \in \Bbb N_{\ge 1}\} \cup \{ (-H_{2n+4} , -H_{2n}) \ | n \in \Bbb N_{\ge 1}\} \cup \{ (-3, 3) \}$$ donde $$H_n = \sum_{j=1}^n \frac 1j$$ es el $n$ -número armónico. Obsérvese que para todo $\varepsilon >0$ sólo un número finito de elementos $U \in \mathcal U$ satisfacer $\lambda (U) > \varepsilon$ .

Dejemos que $\{ U_{n} \}_{n \ge 1}$ sea una enumeración de la misma indexada por números naturales positivos. Esto significa que $a_n= \lambda (U_n)$ converge a $0$ .

Dejemos que $\{ r_n \}_{n \ge 1}$ sea una enumeración de números racionales tal que para todo $n$ $$r_{n} \in U_n$$ retenciones. Recordemos que $a_n$ es racional, y converge a $0$ .

Ahora, para todos $x \in \Bbb R$ existe $n \ge 1$ tal que $x \in U_n$ : así $|x-r_n| < a_n$ .