¿Qué son todas estas "visualizaciones" de la 3ª esfera?

Question

una 2-esfera es una esfera normal. Una 3-esfera es

$$ x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1 $$

Mi primera pregunta es, ¿por qué la coordenada w no es sólo el tiempo? Puedo trazar una esfera 4-d en un programa de matemáticas simbólicas y animar el parámetro w, ya que w va de .1 a .9:

¿No es eso lo que significa tener una cuarta dimensión? ¿Sólo añadir el tiempo?

Parece que no.

Esta imagen es de la wikipedia,

La leyenda dice que se trata de una "proyección estereográfica de los paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde) de la hiperesfera". No lo entiendo en absoluto. ¿Qué es un paralelo, un meridiano y un hipermeridiano? ¿Por qué no podemos

Hay un artículo aquí que habla de la 3-esfera en términos de la Conjetura de Poincare.

Aquí hay una imagen de la "fibración de Hopf de la 3-esfera".

Esto se ve muy bien y hay fórmulas que descomponen la fibración de Hopf en un álgebra comprensible pero qué significa esto, a alto nivel ?

Edición: Estoy viendo los videos de las dimensiones y son realmente muy buenos.

Answer 1

$4$ -Los topólogos de pliegues suelen considerar la cuarta dimensión como el tiempo para ayudar a su visualización. Uno de mis ejemplos favoritos es ilustrar que la intersección de dos planos en $\mathbb R^4$ pueden intersecarse en un solo punto (lo cual es obvio por el álgebra.) Piensa en una película con $3$ marcos dimensionales, y una sola línea que se mantiene todo el tiempo. Esto representa un plano en $\mathbb R^4$ ya que la línea barre un plano mientras se mueve en el tiempo. Ahora pon un plano que choque con la línea en un punto de uno de los cortes de tiempo 3D. Esto da dos planos en $\mathbb R^4$ reunión en un punto. Por otro lado, aunque esto puede ser bastante útil, también es muy asimétrico, ya que se ha elegido una dirección como privilegiada, y desde el punto de vista del espacio de 4 dimensiones, ninguna dirección es privilegiada sobre las demás (a diferencia de la geometría lorentziana). Así que a menudo se pueden perder rasgos cruciales de lo que está ocurriendo si se miran las cosas como una película.

Ahora, en cuanto a $S^3$ se refiere, su animación está muy bien. Puedes pensar en el $3$ esfera como una película que comienza con un punto que crece hasta la unidad $2$ -esfera que luego se contrae a un punto. Esto puede ser útil. Normalmente pienso en $S^3$ como la compactación de un punto de $\mathbb R^3$ . (Aquí es donde entra la proyección estereográfica.) Si se elimina un punto de un círculo, se obtiene un espacio homeomorfo a $\mathbb R$ y, del mismo modo, borrar un punto de $S^2$ da lugar a un espacio homeomorfo a $\mathbb R^2$ . Esto en realidad se generaliza, y las fórmulas no son tan difíciles de escribir, para mostrar que $S^n\setminus\{pt\}\cong \mathbb R^n$ . Así que, desde una perspectiva topológica, no te pierdes gran cosa si te limitas a mirar $\mathbb R^3$ . Desde el punto de vista geométrico, esta proyección introduce muchas distorsiones, por lo que debe considerarse con cuidado. Por ejemplo, la fibración de Hopf es una forma de escribir $S^3$ como una unión de círculos geométricos todos del mismo tamaño, pero cuando se mira la fibración de Hopf traducida en $\mathbb R^3$ Los círculos parecen ser de diferentes tamaños, y uno incluso se convierte en una línea que atraviesa $\infty$ .

Answer 2

A menudo he jugado con la idea de intentar visualizar objetos de mayor dimensión, y creo que he conseguido un dominio bastante decente sobre cómo pensar en las esferas.

En primer lugar, te sugiero que empieces por las esferas de menor dimensión con las que ya estás familiarizado. Considere $S^{2}$ por ejemplo. Es el conjunto de todos los puntos de $\mathbb{R}^3$ que satisfacen la relación $$x^2+y^2+z^2=1.$$ Ahora bien, si pensamos en el $z$ -dimensión como el tiempo (ahora me referiré a él como $t$ ), entonces tendríamos la relación $$x^2+y^2=1-t^2,$$ lo que nos daría una familia de círculos (copias de $S^{1}$ ) con radios de longitud $\sqrt{1-t^2}$ . Por lo tanto, si consideramos $t=0$ para ser nuestra "posición inicial" en el tiempo, entonces tenemos un círculo en $\mathbb{R}^2$ de radio $1$ . Ahora, si nos movemos "hacia adelante" o "hacia atrás" en el tiempo, entonces la cantidad $\sqrt{1-t^2}$ comenzará a reducirse, hasta que en ocasiones $t=1$ y $t=-1$ (una unidad de "tiempo" hacia adelante o hacia atrás) cuando tenemos la relación $$x^2+y^2=0,$$ que sólo se satisface en un único punto de $\mathbb{R}^2$ , a saber $(0,0)$ . Así que de esta manera, podemos visualizar $S^{2}$ como un número de copias de $S^{1}$ todo pegado en una tercera dimensión superior.

También podemos hacer un proceso similar para construir $S^{1}$ que es el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^2$ que satisface la relación $$x^2+y^2=1.$$ Pensando en el $y$ -eje ahora como "tiempo", nos queda la relación $x^2=1-t^2$ o $$x=\pm\sqrt{1-t^2},$$ un subconjunto de $\mathbb{R}^1$ . Así que de nuevo vemos que en el momento $t=0$ tenemos que $x=\pm 1$ que es exactamente a lo que nos referimos como $S^{0}$ . Y de nuevo, vemos que a medida que avanzamos o retrocedemos en el tiempo tenemos esa $|x|$ se hace más pequeño, hasta llegar a los tiempos $t=1$ y $t=-1$ donde tenemos como única solución el valor único $x=0$ . Así que de esta manera, $S^1$ puede verse como un número de copias de $S^0$ que se pegan en una segunda dimensión superior.

Finalmente llegamos a $S^{3}$ que es el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^4$ que satisface la relación $$x^2+y^2+z^2+w^2=1.$$ Ahora, cuando pensamos en la 4ª dimensión espacial, $w$ como el tiempo, obtenemos $$x^2 + y^2 + z^2 = 1 - t^2,$$ que es una copia de $S^{2}$ en $\mathbb{R}^3$ de radio $\sqrt{1-t^2}$ . Así, a medida que el tiempo avanza y retrocede, encontramos que el radio de la esfera se reduce hasta que nos quedamos con el punto $(0,0,0)$ a veces $t=1$ y $t=-1$ . De ahí que podamos pensar en $S^3$ como nada más que un número de copias de $S^2$ pegados sobre alguna cuarta dimensión espacial.

Incluso podemos llegar a intuir el "aspecto" de $S^4$ y $S^5$ . Finge, si quieres, que tienes una caja que representa $[-1,1]^3$ (el cubo de la unidad), y dentro de esta caja hay una copia de $S^2$ . Ahora, mientras movemos la caja a la izquierda y a la derecha, estamos moviendo nuestra porción de $\mathbb{R}^3$ (y nuestra copia de $S^2$ ) a lo largo del $w$ -eje. Por lo tanto, a medida que la caja se desplaza hacia la izquierda o la derecha, el radio de la esfera dentro de la caja comenzará a reducirse, hasta que se convierta sólo en el punto $(0,0,0)$ en el origen, cuando hemos movido la caja $1$ unidad completa a cada lado. Es exactamente la misma analogía de la que hablábamos antes. Hay un número incontable de $2$ -esferas, cada una existente en un punto único a lo largo de la $w$ -eje, que se "pegan" para darnos una $3$ -(el $3$ -esfera) incrustada en $\mathbb{R}^4$ .

Sin embargo, somos libres de mover nuestra caja no sólo a la izquierda/derecha, sino también hacia delante/atrás y hacia arriba/abajo. Esto correspondería a los $v$ - y $u$ -ejes de $\mathbb{R}^6$ con $S^5$ dada por la ecuación $$x^2+y^2+z^2+w^2+v^2+u^2=1.$$ Esto significa que nuestra copia de $S^2$ se encogerá, cuanto más nos alejemos de la posición inicial de nuestra caja, hasta que sólo el punto $(0,0,0)$ se deja; lo que ocurrirá en cualquier lugar donde $w^2+v^2+u^2=1$ (es decir, $1$ unidad de distancia radialmente hacia fuera desde la posición inicial de la caja).