¿Siempre existe un mapa continuo que satura un conjunto abierto dado?

Question

Deje que $X$ y $Y$ sean dos espacios topológicos generales. ¿Es verdadera la siguiente afirmación?

Para cualquier$U\subset X$ abierto, existe un$V\subset Y$ abierto y un mapa continuo$f:X\rightarrow Y$, de manera que$f^{-1}V=U$.

Answer 1

Si $Y$ solo tiene un elemento, entonces $f^{-1}(V)\in\{\varnothing,X\}$ para cualquier conjunto abierto $V$ .

Entonces, si $X$ tiene un conjunto abierto no trivial, entonces no funciona.