Espacios compactos en los que cualquier conjunto cerrado se puede dividir en muchos conjuntos cerrados cuyos subconjuntos cerrados se extienden a todo el espacio

Question

Deje $X $ ser un topológicos compactos espacio (no necessarilly Hausdorff). Estoy buscando un charactrization para la siguiente propiedad:

Propiedad: Si $C $ es un subconjunto cerrado de $X $, entonces hay pares distintos subconjuntos cerrados $C_1$,...,$C_n $ de $X $ tal que $C=C_1\cup\dots\cup C_n $, y cada una de las $C_i $ tiene la propiedad de que si $A $ es un clopen subest de $C_i $, entonces existe un clopen subconjunto $B $ de $X $ con $A=C_i\cap B$?

Cualquier comentario es bienvenido.

Answer 1

No veo ninguna razón para creer que hay una manera más simple condición necesaria y suficiente en general. Cuando $X$ es Hausdorff hay uno, sin embargo: su condición es equivalente a $X$ está totalmente desconectado.

Para demostrar esto, en primer lugar supongamos $X$ es compacto Hausdorff y totalmente desconectado. Luego clopen por separado los conjuntos de puntos de $X$ (ver Cualquiera de los dos puntos en una Piedra espacio puede ser desconectado por clopen conjuntos). Se sigue por la compacidad que clopen establece también separar conjuntos cerrados (la prueba es la misma como la prueba de que un compacto Hausdorff espacio es normal, sólo que usando clopen se establece en lugar de abrir conjuntos de todas partes). Así, en particular, si $C\subseteq X$ es cerrado y $A$ es clopen en $C$, a continuación, $A$ e $C\setminus A$ pueden ser separados por clopen subconjuntos de a$X$ (ya que ellos son distintos y cerrados en $X$). Esto significa que su condición se mantiene, con $n=1$.

Por el contrario, supongamos $X$ es compacto Hausdorff y no totalmente desconectado. Su propiedad es heredada por los subespacios cerrados, así que puede reemplazar a $X$ con uno de sus trivial de los componentes conectados. Así, asumimos $X$ es compacto Hausdorff y conectado y tiene más de un punto, y debe mostrar que no satisface a su condición.

Para demostrar esto, escoja una infinita discretos subconjunto $D\subset X$ (ver Todos infinito espacio de Hausdorff tiene una infinita discretos subespacio) y considerar la posibilidad de $C=\overline{D}$. Supongamos que una descomposición $C=C_1\cup\dots\cup C_n$ con su propiedad existido. Tenga en cuenta que cada punto de $D$ es aislado en $C$, y algunos $C_i$ debe contener una infinidad de puntos de $D$. En particular, algunos $C_i$ debe ser desconectado, así que hay un trivial clopen subconjunto $A\subset C_i$. Pero $X$ está conectado, por lo que no tiene trivial clopen subconjuntos, y por lo $A$ no puede ser $B\cap C_i$ para cualquier clopen $B\subseteq X$.

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Por supuesto, la total desconexión no es necesario en la no-Hausdorff caso (no sé si es suficiente). Además de los ejemplos triviales como la topología indiscreta, también existe la cofinite la topología en cualquier conjunto. De manera más general, como Es.Ro comentado, una condición suficiente es que cada subconjunto cerrado de $X$ tiene sólo un número finito de componentes conectados, desde luego, puede tomar los componentes conectados como el $C_i$.