Grupo de homología de$SL(2,\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{Z})$

Question

Mi amigo me pregunta cómo calcular la homología grupo de $X=SL(2,\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{Z})$. No es difícil ver que $H_0(X)=\mathbb{Z}$, y para $q\ge 4$ tenemos $H_q(X)=0$.

Pero no sé cómo calcular $H_q(X)$ para $q=1,2,3$, ya que la acción de $SL(2,\mathbb{Z})$ parece "extraño" para mí, y no puedo hacer que la $X$ en un CW complejo. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Se puede escribir igual de bien $X = \widetilde{SL_2 \Bbb R}/\widetilde{SL_2 \Bbb Z}$, donde el último término es la preimagen de $SL_2 \Bbb Z$ bajo la cobertura de mapa de $\widetilde{SL_2 \Bbb R} \to SL_2 \Bbb R$. Este identifes $X = B(\widetilde{SL_2 \Bbb Z}, 1)$, debido a que su cobertura universal es el contráctiles espacio de $\widetilde{SL_2 \Bbb R}$.

Por lo tanto usted esta pidiendo un grupo de homología de la computación. Esto es especialmente fortuito porque como particularmente emotiva la chirivía observado, $H_k X = 0$ para $k \geq 3$. Todo lo que necesitamos saber es $H_k X = H_k(\widetilde{SL_2 \Bbb Z}; \Bbb Z)$ para $k = 1, 2$, donde este último término significa grupo de homología (o, equivalentemente, la homología de cualquier espacio con contráctiles la universalización de la cobertura y $\pi_1 X = \widetilde{SL_2 \Bbb Z}$).

Para facilitar las cosas, se observa que como aquí este es el grupo fundamental de la el complemento del nudo de trébol, con la presentación de $\langle x, y \mid x^2 = y^3 \rangle.$ Nudo complementa siempre han asféricas de la universalización de la cobertura, por lo que tenemos $X \simeq S^3 \setminus T_{2,3}$, donde $T_{2,3}$ es el nudo de trébol. Nudo complementa siempre ha $H_1 X = \Bbb Z$ e $H_k X = 0$ para $k > 1$ por Alexander dualidad o una de Mayer-Vietoris cálculo.

Probablemente hay un explícito homeomorphism, que yo no sé, pero el inteligente 3-dimensional de los geómetras hacer.