Hipersuperficies de grado$d$ en$\mathbb{P}^n_k$ que contienen un cerrado$X$

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo y considerar la posibilidad de $\mathbb{P}^n_k$, el $n-$dimensiones proyectivas espacio de más de $k$.

Es sabido que, para cualquier entero $d>0$, hay un bijection entre el hypersurfaces de grado $d$ e $\mathbb{P} H^0(\mathbb{P}^n_k, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_k}(d))$.

Ahora, vamos a $X\subseteq \mathbb{P}^n_k$ ser un cerrado subscheme y deje $\mathcal I_X$ la correspondiente gavilla de ideales. Intuitivamente me puede decir que no hay un bijection entre el hypersurfaces de grado $d$ contiene $X$ e $\mathbb{P} H^0(\mathbb{P}^n_k, \mathcal{I}_X(d))$. ¿Cómo puedo mostrar este hecho formalmente?

Answer 1

Considere la secuencia exacta $$ 0 \to \mathcal{I}_X \to \mathcal{O}_{\Bbb P^n} \to \mathcal{O}_X \to 0.$$

Después de torsión por $\mathcal{O}(d)$, esta secuencia se vuelve $$ 0 \to \mathcal{I}_X(d) \to \mathcal{O}_{\Bbb P^n}(d) \to \mathcal{O}_X(d) \to 0$$ y sigue siendo exacta (estamos tensoring con una invertible gavilla).

Tomando cohomology/global secciones, vemos que la secuencia exacta vuelve $$ 0 \to H^0(\mathcal{I}_X(d)) \to H^0(\mathcal{O}_{\Bbb P^n}(d)) \to H^0(\mathcal{O}_X(d))$$ y ahora podemos observar varias cosas. En primer lugar, el global de las secciones de $\mathcal{O}(d)$ son el grado $d$ polinomios homogéneos. Segundo, aquellos grado $d$ polinomios homogéneos en $H^0(\mathcal{O}(d))$ procedentes de $H^0(\mathcal{I}_X(d))$ debe desaparecer en $X$, por la exactitud de la secuencia anterior. Así que podemos concluir que el $H^0(\mathcal{I}_X(d))$ es, precisamente, el espacio vectorial de grado $d$ polinomios de fuga en $X$, y después de tomar el projectivization, podemos decir que $\Bbb PH^0(\mathcal{I}_X(d))$ es exactamente el conjunto de hypersurfaces de grado $d$ contiene $X$.