Es un subconjunto simplemente conectado de$\mathbb{R}^n$ necesariamente medible?

Question

Sea $S\subset\mathbb{R}^n$ un subconjunto que simplemente se conecta como un espacio topológico.

¿Es necesario que Lebesgue sea $S$ necesariamente?

¿Es necesariamente borel medible?

¿Cuál es la prueba?

(Intuitivamente, creo que la respuesta debería ser "sí" para ambos, pero no tendría idea de cómo demostrarlo. Quiero decir, $S$ podría ser bastante salvaje.)

Answer 1

Deje $V\subseteq [0,1]$ ser un nonmeasurable subconjunto de $\Bbb R$, como el conjunto de Vitali, y considerar el "peine" $(V\times[0,1])\cup ([0,1]\times\{0\})$, que es un simple conectado nonmeasurable subconjunto de $\Bbb R^2$.

Para ver que este conjunto es nonmeasurable recuerde que si $(X,\mathcal A,\mu)$ e $(Y,\mathcal B,\nu)$ son dos medir los espacios, a continuación, para un medibles $E\subseteq X\times Y$ tenemos que las rebanadas $E_y=\{x\in X\mid (x,y)\in E\}$ se $\mu$-medible para $\nu$-casi todos los $y$ y que las rebanadas $E_x=\{y\in Y\mid (x,y)\in E\}$ se $\nu$-medible para $\mu$-casi todos los $x$. Si usted rebanada de este conjunto en la dirección correcta obtendrá Vitali conjuntos de todos los sectores a excepción de una sola, por lo que no puede ser medible.

Para ver que este juego es simplemente conectado es mejor dibujar.