Si$\mu$ tiene una densidad con respecto a la medida de Lebesgue, ¿es$C_c(\mathbb R)$ denso en$L^p(\mu)$?

Question

Deje $\mu$ ser una medida de probabilidad en $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$.

Es $C_c^\infty(\mathbb R)$ denso en $L^p(\mu)$ para todos los $p\ge1$?

Deje $\lambda$ denotar la medida de Lebesgue en $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$. Sabemos que $C_c(\mathbb R)$ es denso en $L^p(\lambda)$ para todos los $p\ge1$. Ya, $C_c^\infty(\mathbb R)$ es denso en $C_c(\mathbb R)$, podemos concluir que $C_c^\infty(\mathbb R)$ es denso en $L^p(\lambda)$ para todos los $p\ge1$.

Ahora, estoy especialmente interesado en el caso de que $\mu$ tiene una densidad de $f$ con respecto al $\lambda$. Estaría bien para mí asumir que $f\in C^2(\mathbb R)$ y que $f>0$. Por otra parte, sería suficiente para mí para obtener el deseado reclamación por $p=2$?

¿Hay alguna posibilidad de utilizar el conocido resultado de la medida de Lebesgue?

Answer 1

Existe la siguiente declaración general que se puede encontrar en las Medidas, Integals y Martingales por R. Schilling (Corolario 17.9 en la 2ª edición).

Teorema: Vamos a $\mu$ ser una medida en $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ que asigna finito medida para compactar conjuntos. A continuación, el compacto admite las funciones lisas $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ son densos en $L^p(\mu)$ cualquier $p \geq 1$.

Si $\mu$ es una medida de probabilidad en $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$, entonces la suposición de que $\mu$ asigna finito medida para compactar los conjuntos es trivialmente satisfecho, y, por tanto, $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es denso en $L^p(\mu)$ para todos los $p \geq 1$.