Probar eso es un número entero.

Question

Demuestre que $$\frac{k^7}{7}+\frac{k^5}{5}+\frac{2k^3}{3}-\frac{k}{105}$ $ es un número entero que usa inducción matemática.

Intenté usar la inducción matemática, pero usar una fórmula binomial también se complica un poco.

Por favor, muéstrame tu prueba.

Lo siento si esta pregunta ya fue hecha. En realidad no lo encontré. En ese caso solo bastará con compartir el enlace.

Answer 1

Tenemos: $$\frac{k^7}{7}+\frac{k^5}{5}+\frac{2k^3}{3}-\frac{k}{105} =\frac{15k^7+21k^5+70k^3-k}{3\cdot 5\cdot 7} $$ Para probar que esto es un entero tenemos que: $$15k^7+21k^5+70k^3-k\equiv 0 \pmod{3\cdot 5\cdot 7}$$ De acuerdo con el Teorema del Resto Chino, este es el caso de la fib $$\begin{cases}15k^7+21k^5+70k^3-k\equiv 0 \pmod{3} \\ 15k^7+21k^5+70k^3-k\equiv 0 \pmod{5}\\ 15k^7+21k^5+70k^3-k\equiv 0 \pmod{7}\end{casos} \iff \begin{cases}k^3-k\equiv 0 \pmod{3} \\ k^5-k\equiv 0 \pmod{5}\\ k^7-k\equiv 0 \pmod{7}\end{casos}$$ Fermat Poco Teorema dice que $k^p\equiv k \pmod{p}$ para cualquier prime $p$ e integer $k$.

Por lo tanto, la expresión original es un número entero.

Answer 2

@Me gusta Serena tiene una gran respuesta, pero desde el OP le pidió una prueba por inducción, te voy a mostrar lo que vería. Definir $$f(k)=\frac{k^7}{7}+\frac{k^5}{5}+\frac{2k^3}{3}-\frac{k}{105}=\frac{15k^7 + 21k^5+70k^3-k}{105}$$

Para nuestro caso base, vamos a $k=1$. Entonces tenemos $$f(1)=\frac{15+21+70-1}{105}=1$$ que es un entero. Ahora supongamos $f(k)$ es un número entero para algunos $k\geq 1$. Queremos demostrar que $f(k+1)$ es también un número entero. Para ello, se observa que la \begin{align} f(k+1)&=\frac{15(k+1)^7 + 21(k+1)^5+70(k+1)^3-(k+1)}{105}\\ &=\frac{15k^7 + 105k^6+336k^5+630k^4 + 805k^3+735k^2+419k+105}{105} \end{align} Por lo tanto \begin{align} f(k+1)-f(k)&=\frac{105k^6+315k^5+630k^4+735k^3+735k^2+420k+105}{105}\\ &=\frac{105(k^6+3k^5+6k^4+7k^3+7k^2+4k+1)}{105}\\ &= k^6+3k^5+6k^4+7k^3+7k^2+4k+1 \end{align} Que es un entero, decir $N$. Reorganización de esto da $f(k+1)=f(k)+N$ y desde $f(k)$ se supone que ser un número entero a partir de la hipótesis de inducción, $f(k+1)$ es la suma de dos números enteros, por lo tanto, un número entero.

Answer 3

Llama a la expresión $f(k)$ . Como es un grado polinomial $7$ , obedece a la recurrencia $$\sum_{j=0}^8(-1)^j\binom8jf(k-j)=0.$ $ Así $$f(k)=8f(k-1)-28f(k-2)+56f(k-3)-70f(k-4)+56f(k-5)-28f(k-6)+8f(k-7)-f(k-8)$ $, de modo que si $f$ toma ocho valores enteros consecutivos, por inducción, todos los valores subsiguientes son enteros también.

Answer 4

sugerencia ... si solo desea usar la inducción, deje $$f(k)=15k^7+21k^5+70k^3-k$ $ y considere $$f(k+1)-f(k)=$ $

Para el paso de inducción tienes que mostrar que esto es divisible por $105$

Entonces, por ejemplo, $$(k+1)^7-k^7=7N+1$$ where $ N $ es un entero, etc ...

Puedes terminar

Answer 5

Puedes usar la transformada binomial para probar que

$$ \ frac {k ^ 7} {7} + \ frac {k ^ 5} {5} + \ frac {2k ^ 3} {3} - \ frac {k} {105} \\ = {k \ choice1 } +28 {k \ elegir2} +292 {k \ elegir3} +1248 {k \ elegir4} +2424 {k \ elegir5} +2160 {k \ elegir6} +720 {k \ elegir7} $$