Es $d(x,y)=\frac {\|x-y\|} {\sqrt {1+\|x\|^{2}}\sqrt {1+\|y\|^{2}}}$ una métrica en un espacio lineal normado?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado y $$d(x,y)=\frac {\|x-y\|} {\sqrt {1+\|x\|^{2}}\sqrt {1+\|y\|^{2}}}$$ ¿Es una métrica?

Esta pregunta surgió a raíz del siguiente post en el que se dio una respuesta afirmativa cuando $X$ es un espacio de producto interno. Lamento no haber avanzado nada hasta ahora. En el post de abajo hice la pregunta en un comentario y alguien me sugirió que debería publicar esto como una pregunta separada.

¿Cómo demostrar que la métrica esférica satisface la desigualdad del triángulo?

Algunos datos adicionales: la desigualdad del triángulo para $d$ es válida para una norma abstracta sobre $X$ si se mantiene en $C[0,1]$ con la norma supremum. Esto puede ayudar o no a responder la pregunta, pero la hace un poco más interesante porque podemos trabajar con una norma específica. Justificación de esta afirmación: $C[0,1]$ es un espacio universal para la clase de espacios de Banach separables en el sentido de que cualquier espacio de Banach separable es isométricamente isomorfo a un subespacio de $C[0,1]$ . En particular, cualquier subespacio tridimensional de $X$ es isométricamente isomorfo a un subespacio de $C[0,1]$ y la desigualdad del triángulo implica sólo un subespacio tridimensional.

Answer 1

He aquí un contraejemplo: Considere $X = \Bbb R^2$ con el $1$ -norma $$ \Vert (x_1, x_2) \Vert = |x_1| + |x_2| $$ y los puntos $$ x = (1, 0) \,, \quad y = (1, 1) \,, \quad z = (0, 1) \, . $$ Entonces $$ \Vert x \Vert = \Vert z \Vert = 1 \,, \quad \Vert y \Vert = 2 \, , \\ \Vert x - y \Vert = \Vert y - z \Vert = 1 \,, \quad \Vert x - z \Vert = 2 \, , $$ para que $$ d(x, z) = 1 \, , \quad d(x, y) = d(y, z) = \frac{1}{ \sqrt 2 \sqrt 5} $$ y la desigualdad del triángulo $$ d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z) \iff 1 \le \sqrt \frac 25 $$ no es válida para estos puntos.

Se pueden construir más contraejemplos con el $p$ -normas. Utilizando los mismos puntos $x,y, z$ conduce a la desigualdad $$ 2^{2/p} (1 + 2^{2/p}) \le 8 \, . $$ que no se satisface para un tamaño suficientemente pequeño $p$ Por ejemplo, para $p \le \frac 32$ .

Answer 2

En general, no. Sin embargo, si la norma satisface el Desigualdad de Ptolomeo entonces sí. Por lo tanto, podría estar interesado en echar un vistazo a DESIGUALDAD DE PTOLOMEO, MÉTRICA CORDAL, MÉTRICA MULTIPLICATIVA . M. S. KLAMKIN Y A. MEIR. Página $390$ . Teorema $2$ .

Por otro lado, se demuestra que un espacio normado es producto interior si y sólo si la norma satisface la desigualdad de Ptolomeo. UN COMENTARIO SOBRE LA CARACTERIZACIÓN DE M. M. DAY DE LOS ESPACIOS DE PRODUCTO INTERNO Y UNA CONJETURA DE L. M. BLUMENTHAL . I. J. SCHOENBERG