Isomorfismo entre grupos de cohomología grupal.

Question

Considere la posibilidad de un profinite grupo $S$ actuando trivialmente en $\mathbb{F}_p$. Elija $\chi \neq 0\in H^1(S, \mathbb{F}_p)$ y establezca $T = \ker(\chi)$. Deje $X$ $S$- Módulo de funciones de todos los $S/T \rightarrow \mathbb{F}_p$.

Mostrar que existe un isomorfismo canónico $$ H^p(S,X) \cong H^q(T,\mathbb{F}_p). $$

El caso de $q=0$ es evidente, ya que $X^S$ consiste en la constante de funciones y $\mathbb{F}_p^T = \mathbb{F}_p$ puede ser embebido en $X$ como la constante de funciones.

Pero ¿cómo proceder a partir de ahí? Dimensión de cambio no parece funcionar aquí o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Gracias a yo. m. soloveichik he podido resolver mi pregunta.

Existe un isomorfismo

$$ \text{Ind}^T_S(\mathbb{F}_p) \cong \text{Mapa}(S/T, \mathbb{F}_p) = X $$ dada por $$ x(\sigma) \mapsto y(\sigma T) = \sigma x (\sigma^{-1}) $$

Por Shapiro del Lema obtenemos el isomorfismo

$$ H^q(S, \: \text{Ind}^T_S(\mathbb{F}_p)) \cong H^q(T,\mathbb{F}_p). $$

Una prueba se encuentra en Neukirch/Schmidt/Wingberg: 'Cohomology de los Campos de Número de' p'. 60.