La cuestión es demostrar que
Para $H\subset G$ con $|G:H|=n$ , $\exists~K\leq H$ con $K\unlhd G$ tal que $|G:K|\leq n!$
Lo que he hecho hasta ahora es que :
$H$ sea un subgrupo de índice $n$ en $G$ y que $\{g_i :1\leq i\leq n\}$ sean sus representantes del coset. Consideremos la acción de $G$ en el conjunto de cosets de la izquierda $G\times \{g_i H:1\leq i \leq n\}\rightarrow \{g_i H:1\leq i \leq n\}$ .
En otras palabras, tenemos la acción $G\times \{1,2,3,...n\}\rightarrow \{1,2,3,...n\}$ .
Para cada $g\in G$ actuando sobre $\{1,2,3,...n\}$ tenemos imagen en $\{1,2,3,...n\}$ .
Así, cada $g\in G$ da una permutación en $\{1,2,3,...n\}$ Por lo tanto, tenemos $G\rightarrow S_n$ un homomorfismo.
Como $\eta : G\rightarrow S_n$ es un homomorfismo, $Ker(\eta)$ sería un subgrupo normal de $G$ y por el teorema del isomorfismo tenemos $G/Ker(\eta)$ es isomorfo al subgrupo de $S_n$ .
Set $K=Ker(\eta)$ vemos que $K\leq H$ y $G/K\cong M$ donde $M\leq S_n$ .
Como $|S_n|=n!$ vemos que $|G/K|\leq n!$ y así, $|G:K|\leq n!$ .
De hecho $|G:K|$ divide $n!$ que no se pide probar en la Pregunta.
Por lo tanto, me pregunto si mi planteamiento está bien o acabo de probar algo más.
Por favor, considere esto como una pregunta de verificación de pruebas.
Gracias.
