Si$\,\,f:[a,b]\to \mathbb{R}, \,b-a\ge 4$ es diferenciable, entonces$\,f'(x_0)<1+(\,f(x_0))^2$, para algunos$x_0\in (a,b)$.

Question

Supongamos que$\,f:[a,b]\to \mathbb{R}$, donde$\,b-a\ge 4,\,$ es diferenciable en$(a,b)$ y continua en$[a,b]$. Probar que hay$x_0\in (a,b)$, tal que

PS

Pero, no pude hacer el más mínimo acercamiento hacia la solución de este problema. Por favor ayuda. Gracias.

Answer 1

Primera prueba. (Suponiendo que $\,f$ es continuamente diferenciable). Asumir que por cada $x\in[a,b]$: $$ f'(x)\ge 1+f^2(x), $$ entonces $$ \frac{d}{dx}\bronceado^{-1}\big(f(x)\big)=\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\ge 1, $$ y por lo tanto la integración en $[a,b]$ $$ \bronceado^{-1}\big(f(b)\big)-\bronceado^{-1}\big(f(a)\big)\ge b-a\ge 4. $$ Pero $\tan^{-1}(x)\in(-\pi/2,\pi/2)$, y por lo tanto $$ \bronceado^{-1}\big(f(b)\big)-\bronceado^{-1}\big(f(a)\big)<\pi. $$

Pruebas alternativas. (Suponiendo que $f$ SÓLO es diferenciable). Como $\tan^{-1}: \mathbb R\to (-\pi/2,\pi/2)$, a continuación, utilizando el valor medio teorema de $g(x)=\tan^{-1}\big(f(x)\big)$,$g'(x)=f'(x)/\big(1+f^2(x)\big)$, obtenemos que existe un $\xi\in (a,b)$, de tal manera que $$ \pi>\bronceado^{-1}\big(f(b)\big)-\bronceado^{-1}\big(\,f(a)\big)= (b-a)\frac{f'(\xi)}{1+f^2(\xi)}, $$ y por lo tanto $$ 1+f^2(\xi)>\frac{\pi}{b}\big(1+f^2(\xi)\big)= f'(\xi). $$