¿Una probabilidad incondicional de 1 o 0 implica una probabilidad condicional de 1 o 0 si la condición es posible?

Question

Me parece que no puede encontrar cualquier referencia diciendo que un evento con una probabilidad de 1 o 0 es independiente de cualquier evento con probabilidad positiva, si eso es cierto y parece que no puede ser capaz de extender el argumento aquí taaaan......

Supongamos que tenemos una probabilidad del espacio $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$ y dejar que a y B son eventos s.t. $P(B) > 0$.

Si $P(A) = 1 (/0)$,$A = \Omega(/\emptyset)$.s.

$\to A \cap B = \Omega(/\emptyset) \cap B \ \text{a.s.} \ \tag{*}$

$$\to P(A \cap B) = P(\Omega(/\emptyset) \cap B)$$

$$\to P(A \cap B) = P(B(/\emptyset))$$

$$\to P(A|B)P(B) = P(B(/\emptyset))$$

$$\to P(A|B) = 1(/0) \ QED$$

Es ese derecho? ¿Cuál es la justificación o la alternativa para $(*)$?

Answer 1

Yo casi seguro que no sabe lo que se entiende por una.s. en la ecuación etiquetado con un $*$ en tu pregunta, pero la prueba de la independencia el material es sencillo.

Dado cualquier evento $B$, no necesariamente de probabilidad positiva, podemos se expresa en la discontinuo de la unión de los eventos a $A\cap B$ y $A^c\cap B$ , $B = (A\cap B) \cup (A^c\cap B)$. Por lo tanto, tenemos que

$$P(B) = P(A\cap B) + P(A^c\cap B).\tag{1}$$

• Si $P(A) = 1$$P(A^c) = 0$, entonces, desde la $(A^c \cap B) \subset A^c$, tenemos $P(A^c \cap B) \leq P(A^c) = 0$, es decir, $P(A^c \cap B) = 0$. Se desprende de lo $(1)$ y la suposición de que $P(A) = 1$ que $$P(B) = P(A\cap B) \Longrightarrow P(A)P(B) = P(A\cap B),$$ es decir, $A$ $B$ eventos son independientes.

• Si $P(A) = 0$$P(A^c) = 1$, entonces, desde la $(A\cap B) \subset A$, tenemos que $P(A\cap B) \leq P(A) = 0$, por lo que $$0 = P(A\cap B) = P(A)P(B),$$ es decir, $A$ $B$ eventos son independientes.

Eventos de probabilidad $1$ (o de probabilidad $0$) tienen la los bienes que son independientes de todos los demás eventos incluyendo (sorprendentemente) a sí mismos!

Answer 2

Demostrar $P(A|B) = 1$ si $P(A) = 1, P(B) > 0$:

$$P(A) = 1$$

$$\to 1_A = 1_\Omega \ \text{a.s.}$$

$$\to 1_A 1_B =1_\Omega 1_B \ \text{a.s.}$$

$$\to 1_{A \cap B} =1_B \ \text{a.s.}$$

$$\to P(A \cap B) = P(B)$$

$$\to P(A|B)P(B) = P(B)$$

$$\to P(A|B) = 1 \ QED$$

La última línea se supone $P(B) > 0$.

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Demostrar $P(A|B) = 0$ si $P(A) = 0, P(B) > 0$:

$$P(A) = 0$$

$$\to 1_A = 1_{\emptyset} \ \text{a.s.}$$

$$\to 1_A 1_B = 1_{\emptyset} 1_B \ \text{a.s.}$$

$$\to 1_{A \cap B} = 1_{\emptyset} \ \text{a.s.}$$

$$\to P(A \cap B) = P(\emptyset)$$

$$\to P(A|B)P(B) = 0$$

$$\to P(A|B) = 0 \ QED$$

Nota: La última línea asume $P(B) > 0$.

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Probar que a y B son independientes si $P(A) = 0$

$$A \cap B \subseteq A$$

$$\to 0 \le P(A \cap B) \le P(A) = 0$$

También, $P(A)P(B) = 0$. Por lo tanto, tenemos

$$P(A \cap B) = P(A)P(B) \ QED$$

Nota: Esto no parece suponer que $P(B) > 0$

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Probar que a y B son independientes si $P(A) = 1, P(B) > 0$

$$P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B) \tag{*}$$

$$P(A)P(B) = P(B)$$

$$\to P(A \cap B) = P(A)P(B) \ QED$$

Nota: $(*)$ hace uso de '$P(A|B) = 1$ si $P(A) = 1, P(B) > 0$'