Teoría de la representación de $\mathbb{R}$ ?

Question

Estoy aprendiendo un poco sobre teoría de las representaciones (una representación es un homomorfismo $\rho: G \to GL(V)$ para algún espacio vectorial complejo $V$ ) y estoy tratando de entender algunos ejemplos. Me salen las representaciones de los grupos cíclicos finitos y creo que me salen las representaciones de los enteros. Me pregunto sobre las representaciones de un grupo como $\mathbb{R}$ bajo adición. Sé que este grupo es abeliano, por lo que todas las representaciones irreducibles serían $1$ -dimensional. Si esto es demasiado difícil estaría feliz con una referencia.

Answer 1

En el caso de un grupo topológico infinito, probablemente quieras considerar sólo caracteres continuos. En el caso compacto, se cumple el teorema de Peter-Weyl y la situación es similar a la del caso finito. Si se consideran representaciones arbitrarias de $\mathbb{R}$ a partir de una base de Hamel. En el caso abeliano, los caracteres están más o menos determinados por la dualidad de Pontryagin, suponiendo compacidad local. Para el caso particular de $\mathbb{R}$ se deduce que los caracteres continuos en $\mathbb{R}$ son todos de la forma $\chi(t) = e^{2\pi i \xi t}$ de verdad $\xi$ con la correspondencia inducida por la transformada de Fourier.

Answer 2

Por diversión, dejemos de lado la suposición de continuidad. $\mathbb{R}$ es un $\mathbb{Q}$ -y por lo tanto (asumiendo la elección) tiene una base, y por lo tanto es una suma directa infinita de copias de $\mathbb{Q}$ . La teoría de la representación de $\mathbb{Q}$ es sorprendentemente complicado: explícitamente, el $1$ -Las representaciones dimensionales vienen dadas por la elección de números complejos distintos de cero $z_n \in \mathbb{C}^{\times}$ tal que

$$z_{nm}^m = z_n$$

para todos $i, j$ y luego tomar

$$\mathbb{Q} \ni \frac{p}{q} \mapsto z_q^p \in \mathbb{C}^{\times}.$$

Los ejemplos obvios se dan tomando $z_n = \exp \frac{2 \pi i \xi}{n}$ para algunos $\xi \in \mathbb{C}$ pero son posibles otros ejemplos.

Además, la teoría de la representación de $\mathbb{Q}$ no es semisimple; por ejemplo,

$$\mathbb{Q} \ni r \mapsto \left[ \begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$

es un $2$ -que es indecomponible pero no irreducible. No sé cómo clasificarlas. Y entonces $\mathbb{R}$ es una suma directa infinita de copias de $\mathbb{Q}$ además de eso...

Answer 3

Para grupos topológicos como $\mathbb{R}$ los objetos útiles de estudio son las representaciones continuas (o los caracteres continuos en el caso de un grupo abeliano).

Resulta que todos los caracteres continuos de $\mathbb{R}$ tienen la forma $\chi(x)=e^{2\pi i\xi x}$ para algunos $\xi\in\mathbb{R}$ . Esto suele demostrarse en los libros que tratan del análisis de Fourier. Véase, por ejemplo, el capítulo 8 de la obra de Folland Análisis real .