Si . Demostrar que:

Question

Si$f \in \operatorname{Hol}(D),f(\frac{1}{2}) + f(-\frac{1}{2}) = 0$, demuestre que$|f(0)| \leq \frac{1}{4}$

$D = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$

Mis pensamientos hasta ahora: Digamos$f(0) = a$. Defina$g = \frac{z-a}{1-\bar{a}z}$ y$h(z) = (g(f(z))$ Ahora se cumplen todas las condiciones para el lema de Shwarz, y puedo concluir que$|h(\frac{1}{2})| \leq \frac{1}{2}$ y$|h(-\frac{1}{2})| \leq \frac{1}{2}$. La idea sería entonces multiplicar las dos desigualdades juntas y tratar de separar de alguna manera$a$, pero el álgebra se vuelve muy desordenado y siento que estoy haciendo algo mal. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

$(f(z) + f(-z))/2$ es una incluso de la función en $D$. Es de la siguiente manera (ver más abajo) que existe un holomorphic función de $g$ $D$ tal que $$g(z^2) = \frac{f(z)+f(-z)}{2} \, .$$ $g$ satisface $|g(z)| < 1$$D$$g( \frac 14) = 0$. Entonces $$h(z) = g \bigl(\frac{z + \frac 14}{1+ \frac 14 z} \bigr)$$ satisface $|h(z)| < 1$$D$$h(0) = 0$.

De ello se desprende del lema de Schwarz que $|h(z)| \le |z|$ $D$ y, en particular, $$\frac 14 \ge |h(-\frac 14)| = |g(0)| = |f(0)| \, .$$

El ejemplo $$f(z) = \frac{z^2 - \frac 14}{1 - \frac 14 z^2}$$ con $f(\frac 12) = f (-\frac 12) = 0$ $f(0) = -\frac 14$ muestra que el obligado $|f(0)| \le \frac 14$ es el mejor posible.

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La existencia de $g$: Si $F$ es una incluso holomorphic función en la unidad de disco $D$ entonces su poder de la serie sólo tiene términos, incluso con los exponentes: $$F(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_{2n} z^{2n} \, . \tag 1$$ Ahora defina $g$ $$g(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_{2n} z^n \, . \tag 2$$ Es fácil ver que si $R$ es el radio de convergencia de $(1)$ a continuación, $R^2$ es el radio de convergencia de $(2)$. Por lo tanto, $g$ es holomorphic en $D$ y satisface $g(z^2) = F(z) \,$.