Una hipótesis sobre la conjetura: "Cada número par es la diferencia de dos primos"

Question

Si la conjetura "Cada número par es la diferencia de dos primos" se sostiene, entonces concluimos la siguiente hipótesis:

Hipótesis. Para cada entero distinto de cero$a, b$, al menos uno de los números$a, b$ y$a-b$ puede expresarse como la diferencia de dos números primos.

Pregunta. ¿Es cierto lo contrario (la hipótesis implica la conjetura)?

Answer 1

Sí. Tome cualquier$n$ par; si fuera el caso que para todos los% impares $b$, al menos uno de$b+2$ y$b+n+2$ fuera primo, los números primos tendrían una densidad distinta de cero. ° Entonces, tome un$b$ para lo que no es el caso, y la hipótesis implica que$n$ es una diferencia de dos números primos.

° Particione los números impares en pares con la diferencia$n$:$\{1,n+1\}\{3,n+3\},\ldots,\{n-1,2n-1\};\; \{2n+1,3n+1\},\ldots,\{3n-1,4n-1\};\;\ldots$. Hay$kn/2$ pares debajo de$2kn$ ($k\in\mathbb N$), por lo que hay al menos$(x-2n)/4$ pares debajo de$x$. Cada par tiene al menos una prima, por lo que$\pi(x)\geq x/8-n/4$.