Alteración de los dígitos - Número más pequeño

Question

¿Cuál es el número natural más pequeño que empieza por $15$ que se convierte en $5$ veces cuando estos dígitos se trasladan al final?

Obviamente, el número original debe terminar en $3$ (para que $\times \, 5 = 15$ ). También su tercer dígito debe ser $7$ o $8$ ya que el tercer dígito se convierte en el primer dígito del número alterado.

Así, si la parte intermedia tiene una longitud de $n$ dígitos, el número debe ser de la forma $15XX\ldots X3$ donde $XX\ldots X$ tiene $n$ dígitos.

¿Alguna idea sobre cómo continuar?

Answer 1

Que todos los $m$ los dígitos después de "15" forman el número $y$ . Añadir el "15" significa $15\cdot10^m+y$ mientras que añadir "15" significa $100y+15$ Así pues, tenemos la ecuación $$5\,(15\cdot10^m+y)=100y+15,$$ es decir $$y=\frac{15\cdot10^m-3}{19}.$$ Ahora podemos resolver esto con un poco de aritmética modular, o así:
$1/19=0.05263\color{red}{157894736842105263}1578947368421053\ldots$