Sé que no es la respuesta esperada, ya que utiliza la teoría de Galois, pero es un poco larga para un comentario. Encontrar un elemento de orden $p$ en el campo $K = \mathbb{Q}(\zeta_{p^3})$ es equivalente a encontrar una sub-extensión, digamos $E$ de $K$ en $\mathbb{Q}$ . Para encontrarlo, primero hay que mirar su grupo de Galois (si se quiere evitar, se puede trabajar también con incrustaciones de $K$ a $\mathbb{C}$ ), que en este caso es isomorfo al grupo multiplicativo $(\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z})^{\times}$ que denotaré por $G_p$ .
(ASIDE: Una clase representada por $a \in \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ se mapea al automorfismo de $K$ determinado por el envío de $\zeta_{p^3}$ a $\zeta_{p^3}^a$ .)
Para el primer $p=2$ este grupo es de orden 4, y de hecho es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .
(ASIDE: este grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2^{r-2}\mathbb{Z}$ cuando se sustituye el 3 por $r$ .)
Por eso, básicamente, el caso $p=2$ es fácil.
Para $p>2$ , $G_p$ es cíclico, generado por el producto de la imagen, digamos $a$ del generador de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ (hay que saber que este grupo es cíclico) en $(\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z})^{\times}$ con la clase de $1+p$ .
(ASIDE: Se puede demostrar fácilmente que la clase de $1+p$ genera un subgrupo de orden $p^2$ en $G_p$ .)
Por lo tanto, el subgrupo digamos $H_p$ generado por el producto $a(1+p)^p$ es de tamaño $p(p-1)$ por lo que es de índice $p$ . Ahora bien, el teorema fundamental de la teoría de Galois dice que los elementos que se fijan por $H_p$ , digamos que $E$ es un subcampo de K de grado $[G_p:H_p]=p$ .
Como trabajamos en la característica 0, este campo se puede escribir como $\mathbb{Q}(\alpha)$ para algunos $\alpha \in \mathbb{Q}(\zeta_{p^3})$ . Entonces, por supuesto, este $\alpha$ es de grado $p$ . Esto responde en parte a su pregunta. Por supuesto, no es fácil encontrar ese elemento de forma explícita.
Hay que comprobar a mano que la suma del elemento $\zeta_{p^3}$ sobre todas las clases en $G_p/H_p$ debería funcionar, supongo.
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El grado del polinomio mínimo de $\zeta_{p^3}$ es $\varphi(p^3) = p^2(p-1)$ . Como $p$ divide esto, al esperar la existencia de tal elemento.
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Utilizando la teoría de Galois es fácil demostrar que dicho elemento siempre existe. Sin ella no veo una buena manera, al menos no sin soltar datos al azar sobre campos ciclotómicos...
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Considere el grado de extensión de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^{3}})$ en $\mathbb{Q}$ . Es $p^3-p^2$ . Los subcampos son precisamente el campo fijo de los subgrupos del grupo de Galois, que en este caso es abeliano de orden $p^3-p^2$ . Por tanto, tiene un subgrupo de orden p(p-1). Por el teorema fundamental de la teoría de Galois si H es el subgrupo de orden p(p-1) entonces si llamamos k al campo fijo de H entonces $[k:\mathbb{Q}]$ =p.
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@ayberk Sé el hecho de que sobre el grado de este campo. Pero sin el uso explícito de la teoría de Galois, ¿podría decirme por favor $p$ divide el grado del polinomio mínimo implica la existencia de un elemento de grado $p$ ? Y si es posible, ¿podría dar un ejemplo?
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@Bemte Conozco algunos datos sobre los campos ciclotómicos, ¿podrías decirme algo más? Trataría de entenderlo.
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@PropositionX Su última afirmación es falsa. En general no es cierto, que haya un elemento de orden $p$ si $p$ divide el grado de extensión del campo. Sin embargo, es cierto en su caso, porque el grupo de Galois es cíclico. Así que será difícil de demostrar sin la teoría de Galois, porque el grupo de Galois es precisamente lo que hace ver este hecho.
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@MooS Así que, si es posible, ¿podrías usar la idea de la teoría de Galois para explicarlo o simplemente dar un ejemplo? Es decir, ¿podrías simplemente encontrar tal elemento y demostrar que es de orden $p$ ?
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Supongo que dar un ejemplo explícito para $p \neq 2$ es un cálculo bastante complicado, quizá ni siquiera se pueda hacer a mano. En $p=2$ : $\mathbb Q(\zeta_8)$ contiene $i$ y $\sqrt{2}$ .
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@MooS Entonces, ¿la idea de computación también proviene de la teoría de Galois? Si se me permite entender, ¿podría explicar cómo podemos deducir que los elementos de grado 2 son estos 2 elementos? ¿Es posible encontrar una fórmula general para tal elemento?
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¿Ha calculado alguna vez $\zeta_8$ ? Si fuera así, no haría esta pregunta.
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Sí, uno de los resultados de la teoría de Galois es cómo calcular estos elementos. Tienes que conocer la estructura del grupo de automorfismo de tu campo (que en este caso es el grupo unidad de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ ). Ya eso no es tan fácil para el general $p$ y $n$ . Entonces hay que encontrar un determinado subgrupo, tomar sumas de raíces de unidades con respecto a este subgrupo, etc. En resumen: sin ninguna teoría de Galois se puede dejar caer un elemento de orden $p$ en un caso especial y no decir cómo lo has conseguido, pero el caso general es difícil, como mínimo.
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@Bemte: En realidad sólo tienes que cubrir el caso $n=2$ porque para $p \neq 2$ sabemos que existe un único subcampo de grado $p$ sobre los racionales y esto ya está contenido en $\mathbb Q(\zeta_{p^2})$ . Pero todavía es imposible dar una descripción de tal elemento, ya que ni siquiera tenemos una descripción de una raíz primitiva mod $p^2$ es decir, no tenemos una descripción del subgrupo, que corresponde ese subcampo...
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@MooS Voy a pedir un caso específico sólo considerar $p=3$ . Si es posible, ¿podría echarle un vistazo? math.stackexchange.com/questions/2252875/
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@Bemte math.stackexchange.com/questions/2252875/ Ahora estoy considerando sólo un caso especial, pero cualquier arbitraje $n$ Así que, si es posible, ¿podría echarle un vistazo?
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No hagas las mismas preguntas muchas veces, tks math.stackexchange.com/questions/2252875/
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@user1952009 No es para nada la misma pregunta. El alcance es totalmente diferente.