Deje que$R$ sea un dominio integral que no sea un campo. Entonces, ¿puede$R[x]$ tener un ideal máximo generado por un polinomio no constante?

Question

Deje $R$ integrante de dominio que no es un campo. Entonces, ¿es verdad que $\langle f \rangle$ no puede ser un ideal maximal de a $R[x]$ por el no-constante polinomio $f(x) \in R[x]$ ?

Sé que se tiene en el caso de$R=\mathbb Z$, y se puede adaptar la prueba a dibujar conclusión similar en el caso de $R$ es un UFD con infinidad mutuamente no asociados elementos principales. Pero no sé lo que pasa en general. Si la respuesta en general no es cierto, entonces, que al menos si también asumimos $R$ es Noetherian ?

Answer 1

Deje que$K$ sea un campo, y deje que$R=K[[y]]$. Considere el polinomio$f=xy-1$ en$R[x]$. Luego, el cociente$R/\langle f \rangle$ es isomorfo a$K[[y]][x]/\langle xy-1\rangle$, que es un campo (es isomorfo al campo de fracciones de$K[[y]]$).

Por lo tanto, el ideal$\langle f \rangle$ puede ser máximo.