Ecuación diferencial de 2º orden.

Question

Tengo una ecuación diferencial $x''(t)=x(t)^2-x(t)$. El ejercicio es como sigue:

Deje $x'(0)=0$. A continuación, la solución de $x(t)$ sólo depende de la posición inicial $x(0)$. Demostrar que no es exactamente un valor de $x(0)$ para que la solución de $x(t)$ no es constante, sin embargo, decenas de un número finito de valor como $t$ tiende a infinito. Calcular el $x(0)$, así como el valor limitante $x(+\infty)$. Lo que sucede a $x(t)$ $t$ va al infinito para otros valores de $x(0)$?

Esta es la pregunta. Mi intención era simplemente resolver el sistema reducido \begin{align*} x'(t)&=y(t)\\ y'(t)&=x(t)^2-x(t) \end{align*} con túmulos de la fórmula. Pero no estoy seguro de cómo hacer que cuando las ecuaciones dependen unos de otros. Cualquier ayuda sobre cómo hacer esto o tal vez si hay un acercamiento más fácil?

Answer 1

Por la conexión habitual en los sistemas físicos, interpretar esto como el movimiento generado por un campo de fuerza, $\ddot x=-V'(x)$ con la función de la energía $E(x,v)=\frac12v^2+V(x)$. A partir de la ecuación dada, $$ V(x)=\frac12 x^2 -\frac13 x^3 $$ puede ser identificado.

Debido a que los valores en la tangencial de los puntos de la función potencial se $V(0)=0$$V(1)=\frac16$, con un mínimo en cero, un valle de altura $\frac16$ superior que conduce a la oscilante de soluciones y por encima de la altura $\frac16$ a la izquierda acotado, derecho ilimitado de soluciones.

Puesto que la velocidad inicial es cero, las soluciones de todos los de inicio en la gráfica de la función potencial.

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$E(x,\dot x)$ es una primera integral de la ecuación diferencial, es decir, constante a lo largo de las trayectorias. Los conjuntos de nivel de $E$ $(x,v)$ plano de dar las curvas que las trayectorias a seguir.

El potencial de $V(x)$ puede ser interpretado como un campo de altura, un paisaje con la gravedad. Las soluciones de la DE interpretarse en este paisaje dar el movimiento de un sin fricción, no a la rodadura de la bola o de la partícula que sigue esta curva. Por lo tanto un movimiento de partida en el interior del valle se queda en el valle. Tenga en cuenta que el valle cuenta con puntos a la izquierda de cero. Partida por encima de la "colina" en la curva permite que la bola suba por encima de la colina después de atravesar el valle, siguiendo el descenso hacia el infinito negativo.